（4）两数和立方公式 (a?b)?a?3ab?3ab?b； （5）两数差立方公式 (a?b)?a?3ab?3ab?b． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：(x?1)(x?1)(x?x?1)(x?x?1)．
2222?(x?1)?x解法一：原式=(x?1)???
332233322322 =(x?1)(x?x?1) =x?1．
解法二：原式=(x?1)(x?x?1)(x?1)(x?x?1) =(x?1)(x?1) =x?1．
例2 已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a?b?c的值． 解： a?b?c?(a?b?c)?2(ab?bc?ac)?8． 练 习 1．填空： （1）
2222332224266222121211； a?b?(b?a)（ ）
942322 （2）(4m? )?16m?4m?( )； (3 ) (a?2b?c)?a?4b?c?( )． 2．选择题： （1）若x?222221mx?k是一个完全平方式，则k等于 （ ） 22（A）m （B）
21211m （C）m2 （D）m2 43162（2）不论a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
1.1.3．二次根式
一般地，形如a(a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式
—21—
子称为无理式. 例如 3a?a?b?2b，
2a2?b2等是无理式，而2x2?2x?1，2x2?2xy?y2，a2等是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如
2与2，3a与a，3?6与3?6，
23?32与23?32，ax与x，ax?by与ax?by，ax?b等等． 一般地，
与ax?b互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式ab?ab(a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母
有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2．二次根式a的意义
2a2?a??例1
?a,a?0,
?a,a?0.?将下列式子化为最简二次根式：
62（1）12b； （2）ab(a?0)； （3）4xy(x?0)．
解： （1）12b?23b； （2）ab?a2b?ab(a?0)；
y??2x3y(x?0)．
63 （3）4xy?2x例2 计算：3?(3?3)． 解法一： 3?(3?3)＝33?3 ＝3?(3?3) (3?3)(3?3) —22—
＝
33?3 9?3 ＝3(3?1) 63?1． 233?3 ＝解法二： 3?(3?3)＝ ＝3 3(3?1) ＝1 3?13?1 (3?1)(3?1) ＝ ＝3?1． 2例3 试比较下列各组数的大小：
（1）12?11和11?10； （2）2和22－6. 6?4解： （1）∵12?11?12?11(12?11)(12?11)1??， 112?1112?1111?10(11?10)(11?10)1??， 111?1011?10 11?10?又12?11?11?10， ∴12?11＜11?10．
（2）∵22－6?22－6(22－6)(22+6)2??, 122+622+6 又 4＞22，
∴6＋4＞6＋22， ∴2＜22－6. 6?42004例4 化简：(3?2)?(3?2)2005．
—23—
解：(3?2)2004?(3?2)2005
＝(3?2)2004?(3?2)2004?(3?2)
＝??(3?2)?(3?2)?2004??(3?2)
＝12004?(3?2)
＝3?2．
例 5 化简：（1）9?45； （2）x2?1x2?2(0?x?1)． 解：（1）原式?5?45?4 ?(5)2?2?2?5?22 ?(2?5)2 ?2?5?5?2．
（2）原式=(x?1)2?x?1xx， ∵0?x?1， ∴
1x?1?x， 所以，原式＝
1x?x． 例 6 已知x?3?23?2,y?3?23?2，求3x2?5xy?3y2的值 ．
解： ∵x?y?3?23?3?2?23?2?(3?2)2?(3?2)2?10，xy?3?23?2?3?23?2?1，
∴3x2?5xy?3y2?3(x?y)2?11xy?3?102?11?289． 练 习 1．填空： （1）1?31?3＝__ ___；
—24—
2（2）若(5?x)(x?3)?(x?3)5?x，则x的取值范围是_ _ ___；
（3）424?654?396?2150?__ ___； （4）若x?2．选择题： 等式x?1?x?1x?1?x?15??______ __． ，则2x?1?x?1x?1?x?1x?x?2x成立的条件是 （ ） x?2（A）x?2 （B）x?0 （C）x?2 （D）0?x?2
a2?1?1?a23．若b?，求a?b的值．
a?14．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．
1.1.４．分式
1．分式的意义
形如性质：
AAA的式子，若B中含有字母，且B?0，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列BBBAA?M； ?BB?MAA?M． ?BB?M 上述性质被称为分式的基本性质． 2．繁分式
am?n?p像b，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
2mc?dn?p例1 若
5x?4AB??，求常数A,B的值．
x(x?2)xx?2ABA(x?2)?Bx(A?B)x?2A5x?4， ????xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)解： ∵
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