例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）x2?2x?1； （2）x2?4xy?4y2．
解： （1）令x2?2x?1=0，则解得x1??1?2，x2??1?2，
∴x2?2x?1=??x?(?1?2)????x?(?1?2)??
=(x?1?2)(x?1?2)．
（2）令x2?4xy?4y2=0，则解得x1?(?2?22)y，x1?(?2?22)y， ∴x2?4xy?4y2=[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]．
练 习 1．选择题：
多项式2x2?xy?15y2的一个因式为 （ ） （A）2x?5y （B）x?3y （C）x?3y （D）x?5y 2．分解因式：
（1）x2
＋6x＋8； （2）8a3
－b3
；
（3）x2－2x－1； （4）4(x?y?1)?y(y?2x)．
习题1．2
1．分解因式：
（1） a3?1； （2）4x4?13x2?9；
（3）b2?c2?2ab?2ac?2bc； （4）3x2?5xy?2y2?x?9y?4． 2．在实数范围内因式分解：
（1）x2?5x?3 ； （2）x2?22x?3；
（3）3x2?4xy?y2； （4）(x2?2x)2?7(x2?2x)?12． 3．?ABC三边a，b，c满足a2?b2?c2?ab?bc?ca，试判定?ABC的形状． 4．分解因式：x2
＋x－(a2
－a)．
—31—
1.2分解因式
1． B
2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）(2a?b)(4a?2ab?b) （3）(x?1?2)(x?1?2) （4）(2?y)(2x?y?2)．
习题1．2
21．（1）?a?1?a?a?1 （2）?2x?3??2x?3??x?1??x?1?
22?? （3）?b?c??b?c?2a? （4）?3y?y?4??x?2y?1? 2．（1）?x????5?13??5?13?x?????； （2）x?2?52??2??????x?2?5；
??2?7??2?7?y?? （3）3?x????x?3y??； （4）?x?3?(x?1)(x?1?5)(x?1?5)． 3????3．等边三角形 4．(x?a?1)(x?a)
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
我们知道，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
2
b2b2?4ac)? (x?． ① 22a4a因为a≠0，所以，4a＞0．于是
（1）当b－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
2
2
?b?b2?4ac x1，2＝；
2a（2）当b－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－
22
b； 2ab2)一定大于或等2a—32—
（3）当b－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x?
于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b－4ac来判定，我们把
2
2
b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
2
?b?b2?4ac x1，2＝；
2a（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－
b； 2a（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x－3x＋3＝0； （2）x－ax－1＝0； （3） x－ax＋(a－1)＝0； （4）x－2x＋a＝0． 解：（1）∵Δ＝3－43133＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2）该方程的根的判别式Δ＝a－4313(－1)＝a＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根
2
2
2
2
2
2
2
a?a2?4a?a2?4x1?， x2?．
22（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a－4313(a－1)＝a－4a＋4＝(a－2)，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根
2
2
2
x1＝x2＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根
x1＝1，x2＝a－1．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝2－4313a＝4－4a＝4(1－a)， 所以
①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根 x1?1?1?a， x2?1?1?a； ②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
2
—33—
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在
解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
2
?b?b2?4ac?b?b2?4ac x1?，x2?，
2a2a则有
?b?b2?4ac?b?b2?4ac?2bb????； x1?x2?2a2a2aa?b?b2?4ac?b?b2?4acb2?(b2?4ac)4acc???2?． x1x2?22a2a4a4aa
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝?2
bc，x12x2＝．这一关aa系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定
2
理可知
x1＋x2＝－p，x12x2＝q，
即 p＝－(x1＋x2)，q＝x12x2，
所以，方程x＋px＋q＝0可化为 x－(x1＋x2)x＋x12x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2
2
2
2
＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x－(x1＋x2)x＋x12x2＝0．因此有
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x2－(x1＋x2)x＋x12x2＝0．
例2 已知方程5x2?kx?6?0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
—34—
∴532＋k32－6＝0， ∴k＝－7．
所以，方程就为5x－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－
2
2
3． 5所以，方程的另一个根为－
3，k的值为－7． 563，∴x1＝－． 55解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－
由 （－
3k）＋2＝－，得 k＝－7． 553，k的值为－7． 52
2
所以，方程的另一个根为－
例3 已知关于x的方程x＋2(m－2)x＋m＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2＝－2(m－2)，x12x2＝m＋4． ∵x1＋x2－x12x2＝21，
∴(x1＋x2)－3 x12x2＝21， 即 [－2(m－2)]－3(m＋4)＝21， 化简，得 m－16m－17＝0， 解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝17时，方程为x＋30x＋293＝0，Δ＝30－4313293＜0，不合题意，舍去． 综上，m＝17．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．
（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一：设这两个数分别是x，y，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
—35—