则有f(m)(x)?n!(m?1)!?(n?m)!x2(m?1)(1?x)2n?m2x，0 (2) x与x的联合概率密度为： （1）（n）f(1)(n)(x,y)?n!(n?1?1)?F(y)?F(x)?n?1?1?1?F(y)?0f(x)f(y) ＝n(n?1)(y2?x2)n?2?2x?2y =4n(n?1)xy(y2?x2)n?2 0 对于其他x,y，有f(1)(n)(x,y)?0 1.19证：现在要求Y= 令g(x)= nmnmX/(1?nmnmX)的概率密度。 x/(1?x) 可得当0 1(1?nmx)2?0 求g(x)的反函数h(y) 得h(y)= mn(?1?11?x)又h’(y)= m12n(1?x) 这样可得Y的概率密度： fY(y)?fx(h(y))h'(y) (y?g(R)) 1n11?xn?1 = nmmB(,)22n()(?1)2(11?x)?n?m2m12n(1?x) = x2(1?x)2nmB(,)22?1m?1 (0 对于其他的Y有 fY(y)?0 原命题得证 1.20 证明: 令X?YZn,其中Y~N(0,1),Z~?(n),则X~t(n) 2 因为X2?Y2ZnY2,而Y2~?2(1),Z~?2(n) 所以X 2?Zn~F(1,n) 1.21解：(1)由题意可得：?=8,??2?4,n=25 对于7.8?x?8.2 ? ??0.5??n(x??)??0.5 又 n(x??)?~N(0,1) ? 通过查N(0,1)分布表，可得：P｛7.8 ? (2)和(1)一样即求-1.25< n(x??)??<0的概率 通过查表可得：P｛7.5?x?8｝=0.5-(1-0.8944)=0.3944 (3)此时n=100 ? 即求-1< n(x??)?<1的概率 ? 通过查表可得：P｛7.8?x?8.2｝＝0.8413-(1-0.8413)=0.6826 (4)单个样品大于11分钟 即x>11 可得该概率 p1=1-0.9332=0.0668 ? 25个样品的均值大于9分钟，即x?9 可得该概率为p2=1-0.9938=0.0062 ? 100个样品的均值大于8.6分钟 即x?8.6 可得该概率P3=1-0.9987=0.0013 综上所述，第一种情况更有可能发生。 1.22 解：?=2.5 ?=36 n=5 2 (1)30?s?44? 2sn2?2?(2555,) 695s22 而 sn2?2~?(n?1)即 236??(4) 通过查表可得 P＝0.1929 (2)样本方差落在30~40的概率为0.1929 ? 样品均值x落在1.3~3.5的概率 ?即：P{1.3 ? ?P{-0.4472< ?n(x??)?<0.3727} 又 n(x??)?~N(0,1) ? 查标准正态分布表可得：P{1.3 这样两者同时成立的概率为P＝0.1929?0.3179=0.0613 n2n?m1.23 解：(1)a(?xi)?b(?xi)2 i?1i?n?1?? =a(nxn)?b(mxm)=anxn?bmxm ?222?22?2 =(anxn)?(bmxm) ??2?2 由定理1.2.1只要anxn和bnmxm服从N(0.,1)分布 则上式为?(2)分布 ??2 E(anxn)＝0 D(anxn)=an2?2n=an? 2?? E(bnmxm)=0 D(bmxm)=bm??2?2m=bm? 222 要使anxn和bnmxm服从N(0,1)分布，则an?＝1且bm?＝1 这样可得：a?1n?2 b?1m?2 n(2) ?xi?1i?nxn ? 由定理1.2.2 x~N(0,1) Y~?2(2) ＝> T＝ xYn??~t(n) E(nxn)=0 D(nxn)=n?1n?n2?2n?n? 2 则 ?xi?1i服从N(0,1)分布。 xi~N(0,?2) E(nxn)=0 D(xi)=?2 则 n?m?xi?(服从N(0,1)分布 xi ?i?n?1?12)服从?(m)分布 2n则 n?n?m?xi?1i服从t(m)分布 )2?1n(xii?n?1?mn令 n?n?m?xi?1iC?xi＝)2i?1n?m?i?n?1(mxi??i?n?1(xi )2? 这样可得C＝ mn 2(3)由定理1.2.3 ，X~?(n1),Y~?(n2) =>F= X/mY/n2~F(n1,n2) 2 xi~N(0,?) 则 n2xi?~N(0,1) n?m这样有 ?i?1n(xi?2)～?(n) 22?i?n?1(xi?22)～?(m) 可得 ?i?1n(xin?m?2)/( ?i?n?12i(xi?2)/m)~F(n,m) n?m令其＝d?xi/i?1?xi?n?1 则d= mn 1.25 证：Xi~N(?1,?1)2 Yi~N(?2,?2)2 则 Xi??1~N(0,1) ?1Yi??2?2n1~N(0,1) ＝>?(i?1n2Xi??12?12)~?(n1) 2 ?(i?1n1Yi?u2?2Xi?u1)~?(n2) 22n2 =>(?(i?1?12n1)/n1)/ (?(i?1Yi?u22?2)/n2)~F(n1,n2) n2?2?(Xi?1n2i?u1)2 => n1?12~F(n1 , n2) i?(Yi?1??2)2 习题2