2.1解：(1)x~Exp(?) 则??1^??，令??x，则
1^??x
?^ 这样可以得到：?? （2）x~u(a,b) 则?1?u? ?2????? 令： ?????21?
xa?b2?u2
?13(b?ab?a)
^^?^22u?x?2a?b2^^^2?2?S?213^2
(b?ab?a)?x??^?a?x? 这样可以得：?^???b?x???^?3sa?x?或者?^?2?3s?b?x?23s3s2（因为a 2 （３）?1???^??10?x??1xdx????1 令??x ^ 即有 ?^?^?x又??0，0?x<1 ^??1 解得：??x1?x pk （４）?1????k??0(k?1)!??kxk?1e?pxxdx = ?(k?1)!?0xe??xdx 令?x?t ?k?? 上式＝ (k?1)!?tk0???ke?t1??tdt ＝ ?(k?1)!?10tedt??(k?1)?(k?1)!?k!?(k?1)!?k? ^?^ 令u?x，则?? （５）令x-a=t k? x t服从参数为?的指数分布 E(t)?1 ?E(x?a)? 则E(x)?E(x?a)?a?1??a ?1?1??a ?^1?x?^?a??? 令? 2^^2^211?S2?a??u?u?2^2^????^ 可得：??1S2^?,a?x?S2 （６）?1???mp X~B(m,p) ?^?^^ 令 u?x?mp,p? 2.2 xm ??e??x?x?0解: (1) 由于X~Exp(?),所以f(x)??, ?0,????????其它???xin??ne?i?1?xi?0,lnL(?)?nln????x, 因此L(?)??ii?1?0,?????????????其它?n 令 ?lnL(?)????nn???xi?0,该似然方程有唯一解??i?1?1X,所以?的极大似然估计 量为??1X ?1,??a?x?b?? （2）由于X~U(a,b),所以f(x)??b?a, ?0,?????????其它? 所以,样本(X1,X2,?,Xn)的联合概率密度为 n?i?11?,??a?x1,?,xn?b??n,故(a,b)的似然函数为 f(a,b)??(b?a)?0,?????????????其它?1?,??a?min(x1,?,xn),b?max(x1,?,xn)?n,易见, L(a,b)??(b?a)?0??????????????其它???当a?min(x1,?,xn),b?max(x1,?,xn)时,L(a,b)取得最大值,故(a,b)的极大似 ??然估计量为a?min(x1,?,xn),b?max(x1,?,xn) ?nn??1n???xi???xi?1 (3) 因为L(?)??,所以lnL(?)?nln??(??1)?lnxi, i?1i?1?0,???????????????其它? 令 ?lnL(?)???nn???i?1?lnxi?0,该似然方程有唯一解???nn,所以?的极大似 i?lnxi?1?然估计量为???nn i?lnXi?1?nkn???xi?k?1?xiei?1?xi?0?n (4) 因为L(?)??[(k?1)]i?1,所以 ??0,???????????????????????????????????其它nnn lnL(?)?nkln??nln(k?1)!?(k?1)?lnxi???lnxi, i?1i?1令 ?lnL(?)???nkn???xi?0,该似然方程有唯一解??i?1?nkn,所以?的极大似然估 i?xi?1?计量为??kX (5) 样本(X1,X2,?,Xn)的联合概率密度为 n?i?1???(xi?a)??ne?i?1,??x1,?,xn?a?f(a,?)???0,??????????????????其它?n, ???(xi?a)???ne?i?1,??min(x1,?,xn)?a?,易见当a?min(x1,?,xn)时, L(a,?)???0,??????????????????其它??nL(a,?)取得最大值,因此a的极大似然估计量为a?min(x1,?,xn); nlnL(a,?)?nln????(xi?a) i?1而令 ?lnL(a,?)????nn???(xi?a)?0,该似然方程有唯一解??i?1?1X?a,所以?的极 大似然估计量为??1X?a xxm?xp(1?p),x?0,1,2,?, (6) 因X的概率函数为P{X?x}?Cmm 故p的似然函数为L(p)??Ci?1mximpi(1?p)xm?xi,xi?0,1,2,?, 对数似然函数为lnL(p)??[lnCi?1xim?xilnp?(m?xi)ln(1?p)], nni 令 ?lnL(p)?p??x?i?1?(m?x)i?p?i?11?p?0,该似然方程有唯一解p?Xm,故p的极大似 然估计量为p? Xm. n2.3 解：似然函数L（P;x）=?p(xi;P) i?1n =?p(1?p)i?1xi?1 =(p1?pn)(1?p)?xi i?1n 令： ?lnL(?)2p?n1p?n11?pt?xii?1?n11?p?0 ^ ?p?1n??x 又因 i?lnL(p)?p22|??0 ?xi?1p?xn^??p的极大似然估计量为p?x 2.4解：该产品编号服从均匀分布，即x~u(1,N) 矩估计方法：?1???^?1?N2^ ^?? 令：??x 则有：x?1?N2 ?N?2x?1?2*710?1?1419 n 极大似然估计方法：Ｌ（N）=?i?11N?1?(1N?1n) ^ 显然：当N=min(x1,x2,----xn)时，L(N)取得最大值，只有一个值 ^^ ?N＝710,即N的极大似然估计量为N＝710 2.5 解:由于总体X~N(?,?),所以?,?的极大似然估计量分别为??X,?意?以 1??? 2.6 解：(1)R=x(n)?x(1)?2.14?2.09?0.05 ^22??2?S,而由题 2??12???e?(x??????2dx?0.025可知P{X??}?????12??e?(x??????2dx?0.025,所 ?????)?0.025??1.96???,因此?的极大似然估计量为??1.96S,即 2?X. ???Rd5?0.4299*0.05?0.0215 (2)将题中数据等分为三组 第一组:2.14,2.10,2.15,2.13,2.12,2.13, 2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13 2.11,2.14,2.10,2.11,2.15,2.10 ? 平均极差：R?^13?(0.05?0.05?0.05)?0.05 ???1d0R?0.3946?0.05?0.019 7