（二）一元函数微分学
1.判断：
（1）若曲线y=f(x)处处有切线，则y=f(x)必处处可导. 答：命题错误. 如：y?2x处处有切线，但在x?0处不可导. （2）若lim2x?af(x)?f(a)，试判断下列命题是否正确. ?A（A为常数）
x?a①f(x)在点x?a 处可导, ②f(x)在点x?a 处连续, ③f(x)?f(a)= A(x?a)?o(x?a). 答：命题①、②、③全正确.
(3)若f(x)，g(x)在点x0处都不可导，则f(x)?g(x)点x0处也一定不可导. 答：命题不成立.
如：f(x)=??0,x?0,?x,x?0, g(x)=?
?x,x?0,?0,x?0,f(x)，g(x)在x = 0 处均不可导，但其和函数f(x)+g(x)= x 在x= 0 处可导.
（4）若f(x)在点x0处可导，g(x)在点x0处不可导，则f(x)+g(x)在点x0处一定不可导. 答：命题成立.
原因：若f(x)+g(x)在x0处可导，由f(x)在x0处点可导知g(x)=[f(x)+g(x)]?f(x)在x0点处也可导，矛盾.
（5）f'(x0)与[f(x0)]'有区别. 答：命题成立.
因为f'(x0)表示f(x)在x?x0处的导数; [f(x0)]'表示对f(x)在x?x0处的函数值求导，且结果为0. （6）设y?f(x)在点x0的某邻域有定义，且f(x0??x)?f(x0)=a?x?b(?x)，其中a,b为常数，下列命题哪个正确？
①f?x?在点x0处可导，且f??x0??a,②f?x?在点x0处可微，且df?x?|x?x0?adx, ③f?x0??x??f?x0??a?x （ |?x|很小时）. 答：①、②、③三个命题全正确.
2πsin(?x)?122.已知(sinx)'?cosx，利用导数定义求极限lim.
x?0xπsin(?x)?12解：lim
x?0x第6页
π?sin(?x)?sin22 =limx?0x=(sinx)'|x?π2= cosπ=0. 2x?0x?0 ，的导数.
3.求 f(x)???ln?1?x?，，?x
解： 当x?0时，f?(x)?1 ， 1?x当x?0时，f?(x)?1，
当x?0时，f?(0)?lim所以 f??(0)?lim?x?0x?0f(x)?f(0)f(x)?f(0)， ?limx?0x?0xx?0?1， x1ln(1?x)?0f??(0)?lim??lim?ln(1?x)x?lne?1，
x?0x?0x因此 f?(0)?1，
?1?于是 f?(x)??1?x??1,,
x?0,x?0.
4.设f(x)?ln(1?x),y?f(f(x))，求解：y?f(f(x))?ln[1?ln(1?x)],
dy dx?dy11. ??[1?ln(1?x)]'?[1?ln(1?x)](1?x)dx1?ln(1?x)x?lnx2?y2,求y??. y5.已知 arctan解：两端对x求导，得
1x?()??xy1?()2y1x?y221x2?y2(x2?y2)?，
y2y?xy???222x?yy?2x?2y?y?2x?y22，
第7页
整理得 (y?x)y??y?x ，故 y??上式两端再对x求导，得
y?x， y?xy???(y??1)(y?x)?(y??1)(y?x)(y?x)2
yy??y?xy??x?yy??xy??y?x?(y?x)2=
2xy??2y，
(y?x)2将 y??y?x代入上式，得 y?x2x?y?x?2y2xy?2x2?2y2?2xy2(x2?y2)y?x???.
(x?y)3(y?x)3(y?x)223y???6.求y= ??(x?1)(x?2)(x?3)?dy的导数 ?3dxx?(x?4)??2[ln(x?1)?ln(x?2)?ln(x?3)?3lnx?ln(x?4)], 3解：两边取对数：
lny=
两边关于x求导：
1211131?y'?[????], y3x?1x?2x?3xx?4?
dy211131?y(????). dx3x?1x?2x?3xx?4xe7.设f(x)?x，求f'(x).
x解：令y?x, 两边取对数得：lny?elnx,
ex两边关于x求导数得：
1exx ?y'?e?lnx?
yxexy'?y(elnx?)
xxex). 即 y'?x(elnx?xexx第8页
dyd2y8.设y?f(u),u?sinx,求和2.
dxdx2解：
dy2=f?(u)?2x?cosx, dxd2y222222???=f(u)?4x(cosx)?f(u)(2cosx?4xsinx). 2dx9.y?x?e, 求y3x4x(4).
2xx(4)解：y??4x?e, y???12x?e,y????24x?e, y?24?ex.
?x?t?cost，d2y10.设? 求 . 2y?sint，dx?dy(sint)?cost??解： ， dx(t?cost)?1?sintd2ydy?dcostdcostdtcost?1 ??()?()??()2dxdxdxdx1?sintdt1?sintdx1?sintdt?sint(1?sint)?cos2t1?1???. 22(1?sint)1?sint(1?sint)?x?t,11.求曲线?在点（1，1）处切线的斜率. 3y?t,?解：由题意知：
?1?t,?t?1, ?31?t,?dy?
dxt?1(t3)??(t)?t?1?3t2t?1?3,
?曲线在点（1，1）处切线的斜率为3
12. 求函数y?xelntanx的微分.
解一 用微分的定义dy?f?(x)dx求微分， 有
dy?(xelntanx)?dx?[elntanx?xelntanx?elntanx(1?2x)dx. sin2x1?sec2x]dx tanx 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得
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dy?d(xelntanx)?elntanxdx?xdelntanx
?elntanxdx?xelntanxd(lntanx)
?elntanxdx?xelntanx??elntanxdx?xelntanx?elntanx(1?1d(tanx) tanx11?dx tanxcos2x2x)dx. sin2xx13.试证当x?1时，e?ex.
证明：令f(x)?e?ex，易见f(x)在(??,??)内连续，且f(1)?0f?(x)?e?e.
x当x?1时，f?(x)?e?e?0可知f(x)为(??,1]上的严格单调减少函数，即
xxf(x)?f(1)?0.
当x?1时，f?(x)?e?e?0，可知f(x)为[1,??)上的严格单调增加函数， 即f(x)?f(1)?0.
故对任意 x?1,有f(x)?0,即 e?ex?0. e?ex.
xxxx414.求函数y??x3的单调性与极值.
4解：函数的定义域为(??,??).
y??x?3x?x(x?3)， 令 y??0,驻点 x1?0,x2?3 列表
322x y? (??,0) ? 0 0 (0,3) ? 3 0 极小 (3,??) + y 由上表知，单调减区间为(??,3)，单调增区间为(3,??)，极小值 y(3)??求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中
27 4y???3x2?6x,y??x?0?0 不能确定x?0处是否取极值， y??x?3?9?0,得y(3)??27是极小值. 4第10页