5. 已知向量a与向量b=3i?6j?8k及x轴垂直，且a?2，求出向量a. 解：因为a?b，a?i（垂直于x轴），故a与向量b?i平行.由两向量平行的充要条件，a可写成a??(b?i)，即
ijka=?368=?(8j?6k). 100由题设a?2，得(8?)2?(?6?)2=2 ， ?2(82?62)?4，???, 从而得 a=158686j?k，或 a=?j?k. 55556.求平行于y轴，且过点A(1,?5,1)与B(3,2,?3)的平面方程. 解一 利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量n.因为平面平行于y轴，所以n?j.又因为平面过点A与B，所以必有n?AB.于是，取n=j?AB,
i 而AB={2，7，?4} ，所以 n=0j1k0=?4i?2k，
27?4因此，由平面的点法式方程，得?4(x?1)?0(y?5)?2(z?1)?0，即 2x?z?3?0.
解二 利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为 Ax?By?Cz?D?0,
由于平面平行于y轴，所以 B?0，原方程变为Ax?Cz?D?0，又所求平面过点A(1, ?5, 1)与B(3 , 2,
?3)，将A,B的坐标代入上述方程，得?平面方程为 2x?z?3?0.
?A?C?D?0, 解之得 A?2C, D??3C,代入所设方程，故所求
?3A?3C?D?0,7. 求点M1(5,10,15)到点M2(25,35,45)之间的距离. 解：距离d?M1M2?(25?5)2?(35?10)2?(45?15)2?577.
8. 求?使向量a?{?,1,5}与向量b?{2,10,50}平行.
151得??. ?2105059. 求与y轴反向，模为10的向量a的坐标表达式.
解：由a//b得
??解：a =10?(?j)??10j={0,?10,0}.
10. 求与向量a={1，5，6}平行，模为10的向量b的坐标表达式. 解：a?0a1?{1,5,6}, a62第31页
故 b??10a0??1062?1,5,6?.
11. 求点M(1,2,1)的向径OM与坐标轴之间的夹角. 解：设OM与x, y, z轴之间的夹角分别为?,?,?，则
cos??i?OMiOMj?OMjOM?112?(2)2?1?1, 2cos??????2k?OM1, cos???. 22kOMπππ, ??, ??.
43312. 求同时垂直于向量a???3,6,8?和y轴的单位向量.
i解：记b?a?j??3jk68???8,0,?3?, 100故同时垂直于向量a与y轴的单位向量为?b1??8,0,?3?. ??b7313. 求与a?i?j?k平行且满足a?x?1的向量x.
解：因a//x, 故可设x??a???,?,??，再由a?x?1得??????1，即??1?111?，从而x??,,?. 3?333?1,0,0?，b??0,1,0?，c?(0,0,1)，求a?b，a?c，b?c，及a?a，a?b，a?c，b?c. 14. a??解：依题意，a?i，b?j，c?k，故
a?b?i?j?0，a?c?i?k?0，b?c?j?k?0.
a?a?i?i?0，a?b?i?j?k，a?c?i?k??j，b?c?j?k?i.
1,1,2?,b??2,2,1?，求a?b及a?b. 15. a??解：a?b?1?2?1?2?2?1?6,
ia?b?12j12k2???3,3,0?. 11,0,1?与向量b???1,1,1?垂直. 16. 证明向量a??第32页
证明：?a?b?1?(?1)?0?1?1?1?0,
^ ?(a,b)?π2， 即a与b垂直. 17. 写出过点M0?1,2,3?且以n??2,2,1?为法向量的平面方程. 解：平面的点法式方程为2?x?1??2?y?2???z?3??0. 18. 求过点?0,0,1?且与平面3x?4y?2z?1平行的平面方程. 解：依题意可取所求平面的法向量为n?{3,4,2}, 从而其方程为3?x?0??4?y?0??2?z?1??0, 即 3x?4y?2z?2.
19. 写出过点M0?1,1,1?且以a??4,3,2?为方向向量的直线方程. 解：方程为
x?1y?1z?4?3?12. 20. 求过两点A?1,2,1?,B?2,1,2?的直线方程.
解：取直线的方向向量s????AB???1,?1,1?，则直线的方程为x?1y?2z?11??1?1. 21. 求过点?1,1,1?且与直线x?1y?2z?32?3?4平行的直线L的方程. 解：依题意，可取L的方向向量为s??2,3,4?，则直线L的方程为x?1y?1z?12?3?4. 22. 求直线??x?y?z?1,2x?y?3z?0的点向式方程.
?解：令z=0，可解得直线上一点M120(3,3,0),
ijk取直线的方向向量s??1,1,1???2,?1,3??111?4i?j?3k,
2?13x?1y?2所以直线的点向方程为：34?3?1?z?3. 23. 求直线x?1y?2?13?z2与平面x?y?z?0的夹角.
解：直线的方向向量s??2,3,2?，平面的法向量n??1,?1,1?. 设直线与平面的夹角为?，sin??s?n?1?3???1??2?1s?n?222?32?22?12???1?2?12?151, 第33页
则
故 ??arcsin1. 5124. 求通过点(3 , 0 , 0)和点(0 , 0 , 1)且与xOy平面成解：设所求平面方程为 Ax?By?Cz?D?0，
π角的平面的方程. 3D ， ① 3平面过点(0, 0, 1), 有 C?D?0 , 即 C??D ， ②
平面过点(3, 0, 0)，有 3A?D?0, 即 A??又,平面与xOy面成
ππ1C角，有 cos==，③
2223321?A?B?C即 A2?B2?3C2?0，
解 ①②③得 B=?26D, 3故所求平面为 ?D3x?26Dy?Dz?D?0， 3即
x?26?3z?3?0.
?x?2y?z?3?0,的平面方程.
x?y?z?2?0?i1j1k1={1,2,3},
?123. 求过点(1,?2,1)且垂直于直线?解：已知直线的方向向量为s?{1,?2,1}?{1,1,?1}=1?2由于平面与该直线垂直，故可取平面的法向量n为该方向向量s，即n?s={1,2,3}， 由点法式得平面方程 x?1?2(y?2)?3(z?1)?0，即 x?2y?3z?0. 24. 求通过点P0(2,?1,3)且与直线
x?1yz?2垂直相交的直线方程. ???102解：利用向量运算的方法。在已知点的条件下，关键是求出直线的方向向量s.为此先求出过点P0(2,?1,3)且垂直于已知直线的平面方程，再求出已知直线与此平面的交点，利用交点与已知点找出所求直线的方向向量s，即可
得到所求的直线方程.其步骤如下：
(i)过点P0垂直于已知直线的平面方程为 ?(x?2)?2(z?3)?0，即 x?2z?4?0. (ii)求上述平面与直线的交点P1，为此令
x?1yz?2=t， x?1?t, y?0 , z?2?2t， ???1021将上述参数方程代入平面x?2z?4?0中，有 1?t?2(2?2t)?4?0，得 t= ,
5?????44126312?PP所以 x? , y?0 , z=，即 P , 所以 (,0,)?{,?1,}, s011555555第34页
(iii)写出所求直线方程。由于直线过点P0(2,?1,3)，故所求直线方程为
x?2y?1z?3. ??6?53x?2y?1z?3?? ， 即63?15525.求过点M0(?1,2,1)且与两平面?1：x?y?2z?1和?2：x?2y?z?1平行的直线方程. 解：设所求直线的方向向量为s?{m,n,p}，n1?{1,1,?2}，n2?{1,2,?1}， 因为所求直线l与?1,?2平行，所以s?n1,s?n2,
ijk取s?n1?n2={1,1,?2}?{1,2,?1}=11?2=3i?j?k={3,?1,1},
12?1故所求直线的方程为
x?1y?2??z?1. 3?126. 指出下列方程所表示的几何图形的名称 ，并画草图.
（1）??x?5?0,222222 （2）3x?4y?25, （3）x?y?4z, （4）z?x?0.
?z?2?0,答：（1）平行于y轴的直线,
（2）母线平行于z轴的椭圆柱面,
（3）以z轴为旋转轴的旋转抛物面, （4）两相交平面. 各题图形如下： z O -2 5 x (1)
z y O x
z y (2) z y O O x y 第35页 (3)
x (4)