解二 原方程可化为
dx1?x?1 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 dyydx1?x?0，得其通解为 x?Cy. dyy设x?C(y)y为原方程的解，代入原方程，化简得 C?(y)y?1，C(y)?lnxyy， C1yx所以原方程的通解为 ?ln，即yyC1?Ce （C为任意常数）.
（2）解一 原方程对应的齐次方程
dydydy?2xdx， ?2xy?0分离变量，得?2xy，ydxdx两边积分，得
dy2，lny?x?C， ?2xdx?y?222lny?lnex?lnC?ln(Cex)，y?Cex，
用常数变易法.设y?C(x)e代入原方程，得 C?(x)ex2x2?excosx，C?(x)?cosx，
2C(x)??cosxdx?sinx?C，
故原方程的通解为 y?e(sinx?C) （C为任意常数）. 解二 这里P(x)??2x，Q(x)?ex2x2cosx代入通解的公式得
2??2xdx?2xdxy?e?(?excosx?e?dx?C)
xx?xx =e(ecosx?edx?C)=e(cosxdx?C)=ex(sinx?C)（C为任意常数）.
2?222?26.求微分方程 x3y???x2y??1的通解.
解：方程中不显含未知函数y，令y??P，y???dP3dP，代入原方程，得 x?x2P?1， dxdxdP11?P?3，这是关于未知函数P(x)的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以 dxxxP(x)?e??xdx11?dx(?3exdx?C1） x1 =e由此
?lnx(?1lnx111C111）=）=）=， edx?C(?xdx?C??(??C111xxxx2x?x3x3dy1C=?2?1，
xxdx第26页
y??(?1C11=?)dx?C1lnx?C2， xxx21?C1lnx?C2 （C1,C2为任意常数）. xx?1?因此，原方程的通解为 y=
7.求微分方程 2(y?)2?y??(y?1)满足初始条件y解：方程不显含x，令 y??P，y???P2，y?x?1??1的特解.
dPdP2，则方程可化为 2P?P(y?1)，
dydy当 P?0时
dP2?dy，于是 P?C1(y?1)2. Py?1x?1??1，知y?y?2??1 代入上式，得 C1??1，从而得到
根据 yx?1?2，y?dy??dx，积分得 2(y?1)1?x， y?11?x?C2，再由yy?1x?1?2，求得 C2?0，于是当P?0时，原方程满足所给初始条件的特解为
当P?0时，得y?C(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解故原方程满足所给初始条件的特解为8.求方程yy''?(y')?0的通解.
解：方程不显含自变量x, 令y'?p(y)原方程可变为y?p?21?x中. y?111?x，即 y?1?. y?1xdp?p2?0, dy即p?0或ydp?p, dy由y'?p?0得y?C.
由ydpdpdy, ?p分离变量，得?dypydpdy??p?y,
两边积分得
求积分得 lnp?lny?lnC1, 即p?C1y, 解y'?C1y 得y?C2e因y?C包含于y?C2eC1x,
C1xC1x中, 故原方程通解为 y?C2e.
9.写出下列微分方程的通解：
（1）y''?2y'?y?0, （2）y'?8y?0.
第27页
解：（1）特征方程r2?2r?1?0, 特征根r1?r2?1, 通解为y?(C1?C2x)e.
（2）特征方程r?8?0, 特征根r??8, 通解为y?C1e?8xx.
10.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
（1）y''?2y'?6y?e?3x, y(0)?1,y'(0)?1,
（2） y''?2y?sinx，y(0)?1,y'(0)?1. 解：（1）先解y''?2y'?6y?0,
2其特征方程为r?2r?6?0, 特征根为r1??1?7, r2??1?7,
故通解 y?C1e因e?3x(?1?7)x?C2e(?1?7)x.
?3x中???3不是特征方程的根，且Pm(x)?1, 故设原方程特解yp?Ae，代入原方程化简，得
11A??，从而原方程通解为y?C1e(?1?7)x?C2e(?1?7)x?e?3x.
331由y(0)?0，得C1?C2??0, 由y'(0)?0，得(?1?7)C1?(1?7)C2?1?1,
3解得C1?7?77?7 , C2?, 42427?7(?1?e427)x故所求特解yp??7?7(?1?e427)x1?e?3x. 3（2）先解y???2y?0，
2其特征方程为r?2?0，特征根为r1?2i,r2??2i，
故通解yC?C1cos2x?C2sin2x.
设原方程特解y*?acoxs?bsinx，代入原方程，化简得a?0,b?1，故原方程通解
y?C1cos2x?C2sin2x?sinx,
由y(0)?0得C1?0，由y?(0)?1，得C2?0，故所求特解为y?sinx.
x11. 求微分方程 y???y?4xe满足初始条件yx?0?0，y?x?0?1的特解.
解：对应齐次方程的特征方程为 r2?1?0，特征根 r1,2??1．故对应齐次微分方程的通解为
第28页
yc?C1ex?C2e?x.
因为??1是特征方程的单根，所以设特解为 yP?x(b0x?b1)e， 代入原方程得 2b0?2b1?4b0x?4x，
比较同类项系数得 b0?1，b1??1，从而原方程的特解为 yP?x(x?1)e， 故原方程的通解为 y?C1e?C2ex?xxx?x(x?1)ex，
由初始条件 x?0时，y?y??0，得 ??C1?C2?0,
C?C?2,2?1从而C1?1，C2??1.因此满足初始条件的特解为 y?e?ex?x?x(x?1)ex.
2x12.求微分方程 y???4y??8y?esin2x的通解.
2解：对应的齐次微分方程的特征方程 r?4r?8?0，特征根 r1,2?2?2i.于是所对应的齐次微分方程通解为
yc?e2x(C1cos2x?C2sin2x)．
为了求原方程y???4y??8y?e2xsin2x的一个特解,先求y???4y??8y?e(2?2i)x（?）
?(2?2i)x的特解.由于??2?2i是特征方程的单根，且Pm(x)?1是零次多项式。所以设特解为 y?Axe方程，化简得
，代入原
(4?4i)A?8iAx?4[A?(2?2i)Ax]?8Ax?1,
比较同类项系数，得 4Ai?1，A?所以，方程（?）的特解为
1i??. 4i4i1y???xe2x(cos2x?isin2x)=?xe2x(icos2x?sin2x),
4412x其虚部即为所求原方程的特解 yP??xecos2x.
4因此原方程通解为
y?e2x(C1cosx?C2sinx)?12xxecos2x. 413.已知某曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.
解：设所求曲线方程为 y?f(x)，P(x,y)为其上任一点，则过P点的曲线的切线方程为 Y?y?y?(X?x)，
由假设，当X?0时 Y?x，从而上式成为
dy1?y??1.因此求曲线y?y(x)的问题，转化为求解微分方dxx1??y??y??1程的定解问题 ?，的特解. x??yx?1?1第29页
?P(x)dxP(x)dx由公式 y?e?(Q(x)e?dx?C，得
?y?e代入y?xdx1(?(?1)e??xdx1dx?C)=?xlnx?Cx，
x?1?1得
C?1，故所求曲线方程为 y?x(1?lnx).
三、 向量与空间解析几何
1. 求点M(x,y,z)与x轴，xOy平面及原点的对称点坐标.
解：M(x,y,z)关于x轴的对称点为M1(x,?y,?z)，关于xOy平面的对称点为M2(x,y,?z)，关于原点的对称点为M3(?x,?y,?z).
2. 下列向量哪个是单位向量？
（1）r?i?j?k，（2）a?1?111??1,0,?1?，（3）b??,,?. 2?333?3?1, ?r不是单位向量.
222解：（1）?r?1?1?1?（2）?a?(12?1)?02?()2?1, ?a是单位向量. 22（3）?b?1113()2?()2?()2?, ?b不是单位向量. 33333. 求起点为A(1,2,1)，终点为B(?19,?18,1)的向量AB的坐标表达式及|AB|. 解：AB=(?19?1)i?(?18?2)j?(1?1)k??20i?20j={?20,?20,0},
|AB|?(?20)2?(?20)2?02?202.
4. 设向量AB=4i?4j+7k的终点B的坐标为(2,?1,7).求 (1)始点A的坐标；(2)向量AB的模；(3)向量AB的方向余弦；(4)与向量AB方向一致的单位向量.
解：（1）设始点A的坐标为 (x,y,z)，则有 2?x?4， ?1?y??4 ,7?z?7，得 x=?2 , y=3 , z=0 ;
(2) AB?42?(?4)2?72=9;
47(3) cos?=4?4 , cos??? , cos?? ;
ABABAB999(4) ABo==
1(4i9?4
j+7k).
第30页