1313x53x13ln3?22314?e?(?2?e3x)??e?=? 24ln3320ln39945ln3016.计算（1）
1?10arctanxdx， （2）
?1e21exlnxdx．
解:（1）
?10arctanxdx=xarctanx=
10??xdx
01?x2π1?ln(1?x2)10 42?1 =?ln2 ．
4212（2） 由于在[,1]上lnx?0；在[1,e]上lnx?0，所以
e
?e21exlnxdx=
?11e(?xlnx)dx+
?e21xlnxdx
x2lnxd()
2e21x2 =??1lnxd()+
2e1?e21x2x2x21x2lnx+lnx? =[?]1+[]24e24 =
111111414?（?+）+（ee+） 2244e2e4413134 =?+e．
24e2417.判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1)
???0xdx , (2) 22(1?x)???0????1dx?100x, (3), (4)． dxedx22??01x100?x解:(1) 因为积分区间为无穷区间，所以
1bd(1?x2)x?1blim原式=lim?==dxlim[]0 0(1?x2)2b???b???2?0(1?x2)2b???2(1?x2)b=lim[b????111?]=， 22(1?b)22故所给广义积分收敛，且其值为
??0??1． 2(2)??1111(?)?lim?lim???, =dx2?x???x?0x0xxx??0?
?1dx发散. 2x第21页
(3)
?0??1e?100x?100xedx=?100??1e?1001?100?0?(?)?e.
100100??(4)
???1xdxarctan=
10100?x21022?0π. 20y 18.求曲线y?x,y?(x?2)与x轴围成的平面图形的面积.
2??y?x,解：如图，由?得两曲线交点（1，1）. 2??y?(x?2),y ?x2 y?(x?2)2
O 2 x 解一 取x为积分变量，x?[0,2], 所求面积
A??x2dx??(x?2)2dx?0112x(x?2)?3033132?12. 3解二 取y为积分变量,y的变化区间为[0，1]，
A??(2-y-y)dy?012. 3显然，解法二优于解法一.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 19. 求下列曲线所围成的图形的面积:
抛物线 y?2x与直线x?2y?4. 2y y+dy 解:先画图，如图所示，
?2x?y?并由方程? 求出交点为（2，?1），（8，2）. 2，
??x?2y?4解一 取y为积分变量,y的变化区间为[?1，2]， 在区间[?1，2]上任取一子区间[y，y+dy ]， 则面积微元 dA=(2y?4?2y)dy, 则所求面积为
2（8,2）2 xy?2y 0 (2,-1) x x?2y?4A=?(2y?4?2y2)dy = （y2?4y??1223y）32?1=9.
解二 取x为积分变量，x的变化区间 为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子区间， 需分成[0，2]，[2，8]两部分完成.
在区间[0，2]上任取一子区间[x，x +dx]， 则面积微元 dA1=[2y（8,2） y2?x2x x]dx, 2O (2,-1) 在区间[2，8]上任取一子区间[x，x +dx]，
x?2y?4第22页
则面积微元 dA2=[于是得
x1?(x?4)]dx , 22A=A1+A2 A=?202xdx+A2320?82(xx??2)dx 22382222x=3222x2x??2x]+[34=9 .
显然，解法一优于解法二.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 20.用定积分求由y?x?1,y?0,x?1,x?0所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：如右图，所求体积
2V??π(x?1)dx
0122y 1 y?x2?1 1 ?π?10(x4?2x2?1)dx
1O x
5328x2x =π(=π. ??x)15530二、 微分方程
1. 验证yC?C1xe?x?C2e?x为微分方程y''?2y'?y?0的解，并说明是该方程的通解.
?x证明： ? yC?C1xe?C2e?x,
?yC'?(C1?C2)e?x?C1xe?x, yC''?(C2?2C1)e?x?C1xe?x,
于是yC''?2yC'?yC?0，故yC是y''?2y'?y?0的解.
?xe?x与e?x线性无关，?y''?2y'?y?0中的C1与C2相互独立，即yC中含有与方程y''?2y'?y?0阶数相同（个数均为2）的独立任意常数，故yC是该方程的通解. 2. 用分离变量法求解下列微分方程:
（1）
dyydydy?, （3）?x2y2, （2）?(1?x?x2)y，且y(0)?e. dxdxdx1?x2解：（1）分离变量得
dy?x2dx,（y?0） 2y第23页
两边积分得
?12dy?xdx , 2?y1x3C求积分得 ???,
y33从而通解为y??（2）分离变量得
3 及验证y?0也是方程的解.（特别注意，此解不能并入通解）
x3?Cdydx?,（y?0）
2y1?x两边积分得
11dy??y?1?x2dx,
求积分得 ln|y|?arcsinx?C1, 即 y??e1eCarcsinx?Cearcsinx(C??eC1),
arcsinx从而通解为 y?Ce（3）分离变量得
，验证y?0也是方程的解.
dy?(1?x?x2)dx,（y?0） y两边积分得
12?ydy??(1?x?x)dx
x2x3??C1, 求积分得 ln|y|?x?23即 y??e1eCx?x2x3?23x?x22?x33?Ce(C??eC1),
从而通解为y?Cex?x2x3?23，验证y?0也是方程的解.
1?x?x2x3?23由y(0)?e，得C?e， 故特解为y?e3.求解下列一阶线性微分方程
.
（1）y'?ay?bsinx（其中a,b为常数）, (2)
dy1?. dxx?y2解：(1)因P(x)?a， Q(x)?bsinx， 故通解为
?adxadxy?e?[C??bsinx?e?dx]
?e?ax(C??bsinx?eaxdx)
?e?ax[C?baxe(asinx?cosx)]. 2a?1第24页
(2)方程变形为
dx?x?y2, dyQ(y)?y2,
这是x关于y的一阶线性微分方程，其中P(y)??1,通解为：
?(?1)dy(?1)dyx?e?[C??y2?e??dy]
?ey[C??y2?e?ydy]
?Cey?(y2?2y?2).
以上是用一阶线性微分方程的通解公式求解，要熟练掌握常数变易法！ 4.求微分方程 xydy?dx?ydx?ydy 满足条件y2x?0?2的特解.
解：这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有
y1dy?dx，
x?1y2?1两边积分，得
?ydy?2y?11?x?1dx，
求积分得
1lny2?1?lnx?1?C1，lny2?1?ln(x?1)2?2C1， 2y2?1?(x?1)2e2C1，y2?1??e2C1(x?1)2，
记 ?e2C1?C?0，得方程的解 y2?1?C(x?1)2.
可以验证 C?0时，y??1，它们也是原方程的解，因此，式y2?1?C(x?1)2中的C可以为任意常数，所以原方程的通解为 y2?1?C(x?1)2 （C为任意常数）. 代入初始条件 yx?0?2 得 C?3，所以特解为 y2?1?3(x?1)2.
5.求微分方程（1）y??yx2，（2） y??2xy?ecosx的通解. y?xydyy（1）解一 原方程可化为 ?x ，令 u?，
xdxy?1xduuu?1dx111则 u?x，即 ，两边取积分 ?du??(?)du???uu2?xdx， dxu?1xu2积分得
y1?lnu?lnx?lnC，将u?代入原方程，整理得原方程的通解为 uxxyy?Ce （C为任意常数）.
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