2014实战演练·高三数学参考答案与解析
南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试
1. {0，2} 解析：本题主要考查集合的基本概念、运算等基础知识，属于容易题． 2. －3＋4i 解析：(1－2i)2＝1－4i＋(2i)2＝－3－4i，共轭复数为－3＋4i. 本题主要考查复数的基本概念和运算、共轭复数等基础知识，属于容易题． 4143. 解析：这组数据的平均数为9，s2＝[(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]＝. 555本题主要考查统计中方差的计算，属于容易题． 2
4. 解析：记两个红球为A1、A2，两个白球为B1、B2，那么取出的两个球为A1A2、A1B1、A1B2、A2B1、3
42
A2B2、B1B2，共6种情况，其中两球颜色不同的有4种情况，所求概率为＝.
63
本题主要考查古典概型，属于容易题．
a1＋a95. 27 解析：由a3＋a5＋a7＝9，得a5＝3，S9＝39＝a539＝27.
2
本题主要考查等差数列的概念和性质、前n项和公式等简单的计算，属于容易题．
6. 26 解析：画出可行区域，得到最优解是直线3x－y－6＝0与直线x－y＋2＝0的交点(4，6)，代入目标函数得最大值为26.
本题考查线性规划问题，涉及到求直线交点，考查灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于容易题． 7. 3 解析：s＝6＋5＋4＝15，n－1＝3.
本题主要考查算法流程图的基础知识，属于容易题． ππkπππ
8. 解析：f(x)＝sin?2x＋2φ－?，因为函数f(x)为奇函数，故2φ－＝kπ，k∈Z，即φ＝＋.63263??
π
当k＝0时，φ取最小正值. 6
本题主要考查函数图象的移动、三角函数的性质——奇偶性及周期性，属于中等题． 9. ①③④ 解析：本题主要考查空间线线、线面、面面之间的位置关系，属于中等题．
2
10. 解析：由9cos2A－4cos2B＝5，得9(1－2sin2A)＝5＋4(1－2sin2B)，得9sin2A＝4sin2B，即3sinA＝
3
BCsinA2
2sinB.由正弦定理得＝＝.
ACsinB3
本题主要考查三角形中的正弦定理及三角公式的灵活使用等基础知识，属于中等题．
4→→→1→→→→→→→11. － 解析：(解法1)由已知AD＝DC，则D为AC中点，BD＝(BC－AB)，AC＝BC＋AB.BD2AC＝
32
5＋5－4311→→→→1
－即(BC－AB)·(BC＋AB)＝－，故AB2－BC2＝1.又BC＝2，所以AB＝AC＝5，cosA＝＝，所2225235
534→→→→→?1→→?→→→1→
以CE2AB＝(AE－AC)·AB＝?3AB－AC?2AB＝－AC2AB＋AB2＝－53＝－. 3353
(解法2)取BC中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则B(－1，0)、C(1，0)．设A(0，
1m?→?3m?→13m21→→→→?m)，由AD＝DC，得D?2，2?，BD＝?2，2?，AC＝(1，－m)．由BD2AC＝－，得－＝－，解得m＝
2222
14444→→→→
－，?，则CE＝?－，?，AB＝(－1，－2)，所以CE2AB＝－. 2.这样E??33??33?3
本题考查向量的有关概念、向量的数量积等运算能力及灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于中等题．
12. [0，22＋2]
|PF1－PF2|?42?解析：PF1＋PF2＝42，＝2－，
PF1?PF1?a－c≤PF1≤a＋c，a＝22，c＝2，
|PF1－PF2|42
－2－22≤2－≤22－2，∈[0，2＋22]．
PF1PF1
本题考查椭圆的有关概念及性质、函数的单调性及绝对值等基础知识及灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于中等题．
ye2112－y
13. －1 解析：设f(y)＝lny－＋ln，则f′(y)＝－＝.当y∈(0，2)时，f′(y)>0；当y∈(2，＋∞)时，
22y22y
ye2
f′(y)<0，所以y＝2时，f(y)取最大值1，所以f(y)＝lny－＋ln≤1；又由基本不等式得
22
111?4cos2（xy）＋?≥2，当且仅当4cos2(xy)＝22时取等号，即cos(xy)＝， 24cos（xy）?4?4cos（xy）
12
所以log2?4cos（xy）＋4cos2（xy）?≥1，
??
2
1ye2
所以log2[4cos(xy)＋]＝lny－＋ln成立，
224cos2（xy）
y＝2，??1则?21所以cos4x＝－2，ycos4x＝－1. ??cos（xy）＝4，
本题考查函数、三角、基本不等式等基础知识，考查函数与方程、不等式的思想，考查灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于难题．
41
－，－1? 14. ??25?
解析：在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]， [2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根为t一定在区间
25
(3，4)内，g(t)＝t2－6t＋7是二次函数，对称轴方程为
24
72?7241
4＞t＝＞3，g(t)的最小值为g?＝－， ?25?2525
111
直线y＝kx(k＞0)与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故 24824 圆相切， ?y＝kx，22由?得(1＋k)x－6x＋8＝0， 2?y＝1－（x－3）， 125 取k2＝，得x2－6x＋7＝－1，t 2424 25 所以g(t)＝t2－6t＋7＜－1. 24 本题考查分段函数、函数的周期、直线方程等知识，考查函数与方程、数形结合及转化的思想，考查灵活运用有关基础知识解决问题的能力，属于难题． 15. 证明：(1) 因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱， 所以A1B1∥AB.(3分) 而A1B1?平面ABD，AB?平面ABD， 所以直线A1B1∥平面ABD.(6分) (2) 因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱， 所以BB1⊥平面ABC. 因为AB?平面ABC， 所以AB⊥BB1.(8分) 因为AB⊥BC，BB1?平面BB1C1C，BC?平面BB1C1C，且BB1∩BC＝B， 所以AB⊥平面BB1C1C.(11分) 又AB?平面ABD， 所以平面ABD⊥平面BB1C1C.(14分) π 16. 解：(1) 因为cos?A＋?＝sinA， 6?? ππ 即cosAcos－sinAsin＝sinA， 6633 所以cosA＝sinA.(4分) 22显然cosA≠0， 否则，由cosA＝0，得sinA＝0，与sin2A＋cos2A＝1矛盾， 3 所以tanA＝. 3 因为0＜A＜π， π 所以A＝.(7分) 6 1 (2) 因为cosA＝，4b＝c， 4 根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝15b2， 所以a＝15b.(10分) 1 因为cosA＝， 4所以sinA＝1－cos2A＝由正弦定理，得 15. 4 15bb＝， sinAsinB 1 所以sinB＝.(14分) 4 17. 解：(1) C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时，即未安装太阳能供电设备时该企业每年消耗的电费．(2分) k 由C(0)＝＝24，得k＝2 400.(4分) 100 k1 800 因此F＝153＋0.5x＝＋0.5x，x≥0.(7分) 20x＋100x＋5 1 8001 800 (2) 由(1)知，F＝＋0.5x＝＋0.5(x＋5)－2.5 x＋5x＋5 1 800≥2·0.5（x＋5）－2.5 x＋5 ＝57.5.(10分) 1 800 当且仅当＝0.5(x＋5)＞0，即x＝55时取等号． x＋5 所以当x为55时，F取得最小值为57.5万元．(14分) (说明：第(2)题用导数求最值的，相应给分) 22 22c2a－b8 18. 解：(1) 由e＝，得2＝2＝，即a2＝9b2， 3aa922xy 故椭圆的方程为2＋2＝1.(3分) 9bb 又椭圆过点M(32，2)， 182 所以2＋2＝1，解得b2＝4. 9bb x2y2 所以椭圆C的方程为＋＝1.(5分) 364 (2) ① 记△MAF2的外接圆的圆心为T. 1 因为直线OM的斜率kOM＝， 3 所以线段MA的中垂线方程为y＝－3x. 722? 又由M(32，2)、F2(42，0)，得线段MF2的中点为N?. ，2??2 而直线MF2的斜率kMF2＝－1， 所以线段MF2的中垂线方程为y＝x－32. ?y＝－3x，3292?由?解得T?.(8分) ，－ 4??4?y＝x－32， 32?2?92?255?从而圆T的半径为＋＝， 2?42－4??0＋4? 22 32??92?125?故△MAF2的外接圆的方程为x－＋y＋＝.(10分) 44??4?? 3292 (说明：该圆的一般式方程为x2＋y2－x＋y－20＝0.) 22 ② 设直线MA的斜率为k，A(x1，y1)、B(x2，y2)． 由题意知，直线MA与MB的斜率互为相反数，故直线MB的斜率为－k. 直线MA的方程为y－2＝k(x－32)， 即y＝kx＋2－32k. ??y＝kx＋2－32k，由方程?x2y2消去y，整理得 ＋＝1，??364 (9k2＋1)x2＋182k(1－3k)x＋162k2－108k－18＝0.(*) 由题意知，方程(*)有两解32，x1， 182k（3k－1）182（3k2－k） 所以x1＝－32＝－32. 9k2＋19k2＋1182（3k2＋k） 同理可得x2＝－32.(13分) 9k2＋1362k1082k2 因此x2－x1＝2，x2＋x1＝2－62. 9k＋19k＋1 又y2－y1＝－kx2＋2＋32k－(kx1＋2－32k) ＝－k(x2＋x1)＋62k 1082k3 ＝－2＋122k 9k＋1122k＝2， 9k＋1 122k2y2－y19k＋11 所以直线AB的斜率kAB＝＝＝，为定值．(16分) x2－x1362k3 9k2＋1 19. 解：(1) 因为函数f(x)＝x－1在区间[－2，1]上单调递增， 所以当x∈[－2，1]时，f(x)的取值范围为[－3，0]．(2分) 而[－3，0]?[－2，1]， 所以f(x)在区间[－2，1]上不是封闭的．(4分) 3x＋aa－3 (2) 因为g(x)＝＝3＋. x＋1x＋1 ① 当a＝3时，函数g(x)＝3，显然{3}?[3，10]，故a＝3满足题意； ② 当a＞3时，在区间[3，10]上，函数g(x)单调递减，此时g(x)的取值范围为? 30＋a9＋a??11，4?. 30＋a ≥3，?1130＋a9＋a??[3，10]，得由?解得3≤a≤31，故3＜a≤31；(7分) ，?9＋a4??11 ?4≤10， a－3 ③ 当a＜3时，在区间[3，10]上，有g(x)＝3＋＜3，不合题意． x＋1 综上所述，实数a的取值范围是区间[3，31]．(9分) (3) 因为h(x)＝x3－3x， 所以h′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)． 因为当x＜－1或x＞1时，h′(x)＞0；当x＝－1或1时， h′(x)＝0；当－1＜x＜1时，h′(x)＜0， 所以h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，在区间[－1，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增． 从而h(x)在x＝－1处取得极大值2，在x＝1处取得极小值－2.(11分) 解法1： ① 当a＜b≤－1时，因为h(x)在区间[a，b]上单调递增， 3 ??h（a）＝a－3a≥a，所以? 3 ?h（b）＝b－3b≤b，? ?a（a＋2）（a－2）≥0，?即? ??b（b＋2）（b－2）≤0，??－2≤a≤0或a≥2，解得? 此时无解． ?b≤－2或0≤b≤2，? ② 当a≤－1＜b≤1时，因为h(－1)＝2＞b，与“h(x)在区间[a，b]上封闭”矛盾，即此时无解． ③ 当a≤－1且b＞1时， 因为h(－1)＝2，h(1)＝－2， ??a≤－2，故? ?b≥2.? 3 ??h（a）＝a－3a≥a，由? 3 ?h（b）＝b－3b≤b，? ???－2≤a≤0或a≥2，?a＝－2，?解得 从而? ?b≤－2或0≤b≤2，?b＝2.?? ④ 当－1≤a＜b≤1时，h(x)在区间[a，b]上单调递减， 3 ??h（b）＝b－3b≥a，所以?(*) 3 ?h（a）＝a－3a≤b.? ?a＝－1，??a＝－1，??a＝0，? 又a、b∈Z，所以?或?或? ???b＝0b＝1b＝1.??? 分别代入(*)检验，均不合要求，即此时无解． ⑤ 当－1≤a≤1且b≥1时，因为h(1)＝－2＜a，与“h(x)在区间[a，b]上封闭”矛盾，即此时无解． ⑥ 当1≤a＜b时，因为h(x)在区间[a，b]上递增， ?h（a）＝a3－3a≥a，?所以? 3 ?h（b）＝b－3b≤b，???－2≤a≤0或a≥2，即? ?b≤－2或0≤b≤2，? 此时无解． 综上所述，a＝－2，b＝2.(16分) 解法2： 3 ??h（a）＝a－3a≥a， 由题意知，? 3 ?h（b）＝b－3b≤b，? ??a（a＋2）（a－2）≥0，即? ?b（b＋2）（b－2）≤0，???－2≤a≤0或a≥2，解得? ?b≤－2或0≤b≤2.? 因为a＜b， 所以－2≤a≤0，0≤b≤2. 又a、b∈Z，故a只可能取－2，－1，0，b只可能取0，1，2. ① 当a＝－2时，因为b＞0，故由h(－1)＝2，得b≥2. 因此b＝2. 经检验，a＝－2，b＝2满足题意． ② 当a＝－1时，由于h(－1)＝2，故b＝2，此时h(1)＝－2，不满足题意． ③ 当a＝0时，显然不满足题意． 综上所述，a＝－2，b＝2.(16分) 20. (1) 解：因为{an}是等差数列， 所以an＝(6－12t)＋6(n－1)＝6n－12t(n∈N*)．(2分) 因为数列{bn}的前n项和为Sn＝3n－t， －－ 所以当n≥2时，bn＝(3n－t)－(3n1－t)＝233n1. ??3－t，n＝1， 又b1＝S1＝3－t，故bn＝?(4分) n－1 ?233，n≥2.? (2) 证明：因为{bn}是等比数列， － 所以3－t＝23311，解得t＝1. － 从而an＝6n－12，bn＝233n1(n∈N*)． 对任意的n∈N*， －－ 由于bn＋1＝233n＝633n1＝6(3n1＋2)－12， －－ 令cn＝3n1＋2∈N*，则acn＝6(3n1＋2)－12＝bn＋1， 所以命题成立．(7分) 1－3n11 从而数列{cn}的前n项和Tn＝2n＋＝33n＋2n－.(9分) 21－32 ??6（3－t）（1－2t），n＝1， (3) 解：由题意得dn＝? ?4（n－2t）·3n，n≥2.? ＋?2t－3??23n. 当n≥2时，dn＋1－dn＝4(n＋1－2t)·3n1－4(n－2t)·3n＝8?n－2???? 37 ① 若2t－＜2，即t＜时，dn＋1＞dn. 24 由题意得d1≤d2，即6(3－t)(1－2t)≤36(2－2t)，