苏州市2013届高三调研测试
1. {－1，2} 解析：根据交集的意义得A∩B＝{－1，2}．
1－2i（1－2i）（2－i）0－5i
2. 1 解析：由z(2＋i)＝1－2i，得z＝＝＝＝－i，故|z|＝1.本题主要考查复数
52＋i（2＋i）（2－i）
的基本概念及基本运算、复数的模等基础知识，属于容易题．
1－1
3. 2 解析：样本的平均数为x＝(8＋12＋10＋11＋9)＝10，所以s2＝[(8－10)2＋(12－10)2＋(10－10)2＋
55
(11－10)2＋(9－10)2]＝2.
2
4. 解析：不妨设成等差数列的5个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d(d>0)，则这5个数的和为5a＝5
2
15，即a＝3，从而这5个数中小于3的数有2个，故从这5个数中随机抽取一个数小于3的概率是.
5
1
5. 解析：设过坐标原点作函数y＝lnx图象的切线的切点为(x0，y0)，则y0＝lnx0，切线的斜率为y′|x＝e11111
x0＝，切线方程为y＝x.又切线过切点(x0，lnx0)，所以lnx0＝2x0，解得x0＝e，故切线斜率为＝.本题
x0x0x0x0e主要考查导数的计算、导数的几何意义与切线的求法，属于容易题．
6. 3 解析：因为BB1∥平面ADD1，所以V三棱锥A B1D1D＝V三棱锥B1 AD1D＝V三棱锥B AD1D111
＝S△ADD12AB＝3333233＝3. 332
7. 6.6 解析：由题意，从今年起到第五年的年产值构成首项为1.1，且公比也为1.1的等比数列，所以这
1.13（1－1.15）
个厂五年的总产值为S＝＝113(1.15－1)≈113(1.6－1)＝6.6.
1－1.1
本题主要考查等比数列的概念、等比数列的前n项和等基础知识，属于容易题．
m?m6?6?＝1，?m?≠m，8. 2 解析：当输入m＝6，n＝4时，Int?＝Int＝，∴ Int使c＝6－431?n??4??n?n进入循环体，n4
m?m
＝2，m＝4，n＝2，此时Int?＝2＝，退出循环，输出n的值2. ?n?n
x2y2b2b2
9. 2 解析：将x＝c代入双曲线方程2－2＝1，得y＝±，当△ABC为直角三角形时，有BF＝AF，∴
abaa
＝a＋c，
∴ c2－a2＝a2＋ac，即2a2＋ac－c2＝0，(a＋c)(2a－c)＝0，
c
∴ 2a－c＝0，故离心率e＝＝2.
a
本题主要考查圆锥曲线的方程与几何性质，考查数形结合思想与方程思想，属于中等题．
??x（x＋1），x≥－1，3?1?1?1?3??10. ?－∞，4? 解析：f?2?＝?2＋1?＝，f(x)＝?当x<－1时，f(x)＝－x(x＋1)＝
24?－x（x＋1），x<－1，?
x≥－1，?2?11111
x＋?＋≤f(－1)＝0，此时f(x) 1?1?－∞，1?，所以不等式f?x－1?＜f?1?等价于x－1<1，故此不等式－1≤x≤，所以不等式f(x)≤f?的解集为2??2???4??2?242 3 －∞，?.本题主要考查分段函数、二次函数的性质，解简单的不等式等基础知识，考查函数思想、的解集为?4?? 等价转化思想．属于中等题． 17242311. 解析：因为θ为锐角，且sin(θ＋15°)＝∈?，?，所以θ＋15°∈(45°，60°)，2θ＋30° 505?22?4?272?∈(90°，120°)，所以cos(2θ＋30°)＝1－2sin(θ＋15°)＝1－23?5?＝－，从而sin(2θ＋30°)＝ 25 24 1－cos2（2θ＋30°）＝，所以cos(2θ－15°)＝cos[(2θ＋30°)－45°]＝cos(2θ＋30°)cos45°＋sin(2θ＋ 25 7224217230°)sin45°＝－3＋3＝. 2522525055?2x3＋y3xy2y2?12. ?3，9? 解析：令z＝2＝2·＋2，＝k，则z＝＋k2.因k表示可行域内的点与坐标原点连线 xyyxxk ?2x－y≥0， ? 的斜率，由不等式?x＋y－4≥0， ??x≤3 1?122，2的最值，由z对k求导，z′＝－2表示的平面区域(如图)知≤k≤2.利用导数求函数z＝＋k2，k∈??3?3kk 32 2k－22（k－1）（k＋k＋1）1?＋2k＝2＝，令z′＝0得k＝1，且当k∈?2?3，1?时，z′<0，当k∈(1，2)时，z′>0，kk 2x3＋y3?55?155155 所以当k＝1时，zmin＝3.又当k＝时，z＝，当k＝2时，z＝5，所以当k＝时，zmax＝.故z＝2∈?3，9?. 3939xy 本题主要考查线性规划、导数的计算及应用导数求函数的最值．考查了数形结合、化归等数学思想方法．属于中等题． 13. 60° 解析：如图，已知圆的圆心为C(3，1)，半径为r＝2，直线的倾斜角为120°.因为kOC2kAB3＝2(－3)＝－1，所以OC⊥AB，易知∠xOC＝30°.由图象的对称性知∠AOC＝∠BOC，即∠xOA－∠xOC3 ＝∠xOC－∠xOB，所以∠xOA＋∠xOB＝2∠xOC＝60°.本题主要考查直线方程、圆的方程和性质，考查了探索推理能力及数形结合思想，属于难题． 1 14. 解析：设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]．因为|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，所以a2－a·b－2b2＝0， 2 222?2|b|＋|b|－1≥0，?1－2|b|1－2|b|12 ?即1－|b|cosθ－2|b|＝0，所以cosθ＝，所以－1≤≤1，即解得≤|b|≤1，故2|b||b|2?2|b|－|b|－1≤0，? 1 |b|的最小值为. 2 本题主要考查向量的数量积、不等式的解法，灵活运用相关知识解决问题的能力，属于难题． 2π 15. 解：(1) 由＝π，得ω＝2.(2分) ω2π 由最低点为M?，－3?，得A＝3.(4分) ?3?2π3πππ且23＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，0＜φ＜，∴ φ＝. 3226 π ∴ f(x)＝3sin?2x＋?.(7分) 6??π (2) y＝f(x)＋f?x＋? 4??πππ ＝3sin?2x＋?＋3sin?2?x＋?＋? 6?4?6????ππ ＝3sin?2x＋?＋3cos?2x＋?(9分) 6?6???5π ＝32sin?2x＋?，(11分) 12?? ∴ ymax＝32.(12分) 5πππ 此时，2x＋＝2kπ＋，x＝kπ＋，k∈Z.(14分) 12224 16. (1) 证明：∵ BC⊥平面PAB，AD?平面PAB， ∴ BC⊥AD.(3分) ∵ PA＝AB，D为PB中点，∴ AD⊥PB.(6分) ∵ PB∩BC＝B，∴ AD⊥平面PBC.(7分) (2) 解：连结DC，交PE于G，连结FG. ∵ AD∥平面PEF，AD?平面ADC， 平面ADC∩平面PEF＝FG， ∴ AD∥FG.(10分) ∵ D为PB中点，E为BC中点，连结DE，则DE为△BPC的中位线，△DEG∽△CPG. DGDE1∴ ＝＝.(12分) GCPC2AFDG1∴ ＝＝.(14分) FCGC2 17. 解：(1) ∵ ∠ABC＝120°，∠ACB＝θ，∴ ∠BAC＝60°－θ. ∵ ∠BAD＝90°，∴ ∠CAD＝30°＋θ. ∵ ∠ACD＝60°，∴ ∠ADC＝90°－θ.(2分) ADAC 在△ACD中，∵ ＝， sin∠ACDsin∠ADC 24cosθ ∴ AC＝＝163cosθ.(5分) sin60° ABAC 在△ABC中，∵ ＝， sin∠ACBsinB ACsinθ ∴ AB＝＝16sin2θ，即h＝16sin2θ.(7分) sin120° BCAC (2) 在△ABC中，∵ ＝， sin∠BACsinB ACsin（60°－θ） ∴ BC＝＝32cosθsin(60°－θ)＝83＋83cos2θ－8sin2θ.(10分) sin120° 则S＝AB＋BC＝83＋83cos2θ＋8sin2θ＝83＋16sin(2θ＋60°)．(12分) ∵ 30°≤θ≤45°，∴ 120°≤2θ＋60°≤150°. ∴ 当θ＝45°时，S取得最小值为(83＋8) m．(14分) 18. 解：(1) 设F(－c，0)，∵ A(a，0)，B(0，－b)，C(0，b)， →→ ∴ FC＝(c，b)，BA＝(a，b)． →→ ∵ FC2BA＝5，∴ ac＋b2＝5. ①(2分) c1 ∵ ＝， ② a2 由①②，得a＝2，c＝1，b＝3. x2y2 ∴ 椭圆E的方程为＋＝1.(5分) 43 (2) 线段FC的方程为y＝3x＋3(－1≤x≤0)，设P(x，y)， 7?247→→?则PA2PB＝x(x－2)＋y(y＋3)＝x(x－2)＋3(x＋1)(x＋2)＝4?x＋8?＋.(8分) 16 773→→ 当PA2PB取得最小值时，x＝－，则P?－，?.(10分) 8?88? →→ (3) 设M(0，m)，由NF＝λFM，得N(－1－λ，－λm)．(12分) 代入椭圆E的方程，得3(－1－λ)2＋4(－λm)2－12＝0. 即4(λm)2＝12－3(1＋λ)2.(14分) ∵ m∈[－3，3]，∴ 0≤4(λm)2≤12λ2. 则0≤12－3(1＋λ)2≤12λ2. 3?3 解得≤λ≤1，即实数λ的取值范围为??5，1?.(16分) 5 ??2a1＝A＋B＋1， 19. 解：(1) 分别令n＝1、2，代入条件，得?(2分) ?2a2＋a1＝4A＋2B＋1.? 1A＝， 239 又a1＝，a2＝，解得(4分) 243 B＝.2 13 ∵ an＋Sn＝n2＋n＋1， ① 22 13 ∴ an＋1＋Sn＋1＝(n＋1)2＋(n＋1)＋1. ② 22 ②－①，得2an＋1－an＝n＋2.(6分) 1 则an＋1－(n＋1)＝(an－n)． 21 ∵ a1－1＝≠0， 2 11 ∴ 数列{an－n}是首项为，公比为的等比数列．(8分) 22 11 an－n＝n，则an＝n＋n.(10分) 22 (2) ∵ 数列{an}是等差数列，∴ 可设an＝dn＋c， n（d＋c＋dn＋c）d2?d?则Sn＝＝n＋?c＋2?n. 22 3dd c＋?n＋c.(13分) ∴ an＋Sn＝n2＋??2?2 B－1d3d 则A＝，B＝c＋，c＝1.∴ ＝3.(16分) 22A 20. 解：(1) f(1)≤f(0)，即1－2(1－a)φ(1－a)≤0. 3 当a＞1时，φ(1－a)＝－1，∴ 1＋2(1－a)≤0，a≥；(2分) 21 当a≤1时，φ(1－a)＝1，∴ 1－2(1－a)≤0，a≤. 2 13 综上，a≤或a≥.(4分) 22 (2) 当x＝1时，f(x)＝f(1)． 由题意，?x∈[0，1)，f(x)≥f(1)恒成立．(5分) 1° 当a≥1时， 由f(x)≤f(1)，得x2＋2x(x2－a)≥3－2a，即2a(x－1)≤2x3＋x2－3. ① 2x3＋x2－3 ∵ x∈[0，1)，①式即2a≥，即2a≥2x2＋3x＋3.(7分) x－1 上式对一切x∈[0，1)恒成立，∴ 2a≥2＋3＋3，则a≥4.(8分) 2° 当0＜a≤1时，由f(x)≤f(1)，得x2－2x(x2－a)φ(x2－a)≥2a－1. (ⅰ) 当a≤x≤1时， x2－2x(x2－a)≥2a－1，即2a(x－1)≥2x3－x2－1. ② 2x3－x2－1 ∵ x∈[0，1)，②式即2a≤，即2a≤2x2＋x＋1.(10分) x－1 上式对一切x∈[0，1)恒成立， ∴ 2a≤2a＋a＋1，此式恒成立．(11分) (ⅱ) 当0≤x＜a时， x2＋2x(x2－a)≥2a－1，即2a(x＋1)≤2x3＋x2＋1. ③ 2x3＋x2＋1 ∵ x∈[0，1)，③式即2a≤， x＋1 即2a≤2x2－x＋1.(13分) 11 1) 当a≤，即0＜a≤时，2a≤2(a)2－a＋1，∴ a≤1. 416 1 结合条件得0＜a≤.(14分) 16 1117 2) 当a＞(0＜a≤1)，即 ＜a≤1时，2a≤1－，∴ a≤. 41681617 结合条件得＜a≤. 1616 ? ?? 7 由1)、2)，得0＜a≤.(15分) 167 综上，得0＜a≤或a≥4.(16分) 16 无锡市2012年秋学期普通高中期末考试试卷 1. {x|0＜x≤1} 解析：集合A＝(0，2)，?UB＝(－∞，1]，A∩?UB＝{x|0＜x≤1}． 1－2i（1－2i）（2－i）2－2－5i 2. －i 解析：＝＝＝－i. 52＋i（2＋i）（2－i） 320 3. 64 解析：3200＝64.本题主要考查统计中的抽样方法及运算能力，属于容易题． 400＋320＋280 4. 17 解析：S＝237＋3＝17. BCAC2 5. 1 解析：∠B＝30°，根据正弦定理得＝，AC＝3sin30°＝1. 本题主要考查三角形中 sinAsinBsin45° 的正弦定理及三角形内角和公式等基础知识，属于容易题． 6. [－6，2] 解析：a＋b＝(3，2＋k), |a＋b|＝9＋k2＋4k＋4≤5，k2＋4k－12≤0，－6≤k≤2.本题主要考查向量的模及解一元二次不等式；考查转化运算能力．属于中等题． 7. －1≤a≤6 解析：綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，命题p对应的实数集 ?a－4≤2，? 合为A＝(a－4，a＋4), 命题q对应的实数集合为B＝(2，3)，B?A，?上面两个等号不能同时成立， ??a＋4≥3， 所以－1≤a≤6.本题考查命题及真假判定，考查等价转化的思想．属于中等题． ?x≤0， ? 8. 2 解析：画出区域?y≥0，是一个等腰直角三角形，其面积为8，当直线x＋y＝a与y轴正半轴相交时， ??y－x≤4 a－4 所经过平面区域的面积才可能为7，x＋y＝a与y轴交点坐标为(0，a)，与直线y－x＝4的交点横坐标为， 2 a－41 那么?（4－a）·?＝1，所以a＝2，则t＝2.本题考查线性规划问题，涉及到求直线交点、三角形面积等．属 2?2?于中等题． 9. (x－2)2＋(y＋2)2＝1 解析：圆C1的圆心(－1，1)，半径为1，设圆C2的圆心(a，b)，半径也为1，则b－1 31＝－1， ?a＋1?a＝2，??所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1. ?b＝－2.a－1b＋1? －－1＝022 2 10. －30 解析：a23＝a1a4，即(a1－4)＝a1(a1－6)?a1＝8，a20＝8－(20－1)32＝－30. 11. y2＝3x 解析：过点B作准线的垂线，垂足为D，则根据抛物线定义，BF＝BD，在直角三角形BCD p x－?.又AF＝3，中，BC＝2BD，故∠DBC＝60°，所以直线AF的倾斜角为60°，直线AF的方程为y＝3??2? p3 所以xA＝3－，yA＝3(3－p)．代入抛物线方程得p＝，故抛物线方程为y2＝3x.本题考查抛物线的定义、方 22 程、直线方程．属于中等题． ππ12. 解析：f′(x)＝－3sin(3x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ) －3sin(3x＋φ)＝－2sin?3x＋φ－?66?? πππ 是奇函数，所以φ－＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.又0＜φ＜π，所以k＝0，φ＝.本题考查复合函 666 数的导数、三角函数的性质及三角变换．属于中等题． 13. 85 解析：A、B两点分别位于x轴的上方和下方，在对应法则f：P(m，n)→P′(m，2|n|)变换下，A′、B′的坐标分别为(－2，12)、(6，4)，线段AB与x轴的交点为N(4，0)，点N在对应法则f：P(m，n)→P′(m，2|n|)变换下不变，点M的对应点M′经过的路线的长度为A′N＋B′N＝（4＋2）2＋122＋（6－4）2＋42＝85.本题考查点的坐标及平面上两点间距离问题．考查了数形结合与变换的思想及阅读理解与推理运算能力．属于难题． （1－t）x－t223t2t2 14. 解析：y＝＝(1－t)－，显然t≠0，函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y′＝2>0， 3xxx ?????