∴ 点A、B关于原点对称．(7分)
(2) 由(1)知A(x1，y1)、B(－x1，－y1)，
y1∴ kAB＝＝ax21－b.(8分) x1
又f(x)在A处的切线的斜率k＝f′(x1)＝3ax21－b， ∵ 直线l1、l2都与AB垂直，
2
∴ kAB2k＝－1，(ax2(3ax1－b)＝－1.(9分) 1－b)·
22
令t＝ax1≥0，即方程3t－4bt＋b2＋1＝0有非负实根，(10分) ∴ Δ≥0?b2≥3.
b2＋1
又t1t2＝＞0，
34b
∴ ＞0?b＞0.
3
综上所述，b≥3.(14分)
1
18. 解：(1) 当k＝3，a0＝12时，a1＝(a0＋2)－(a0＋2)＝7，
2
1
a2＝(a1＋2)－(a1＋2)＝6，
31
a3＝(a2＋2)－(a2＋2)＝6.(3分)
4
(2) 由题意知：
1n
an＝(an－1＋2)－(an－1＋2)＝(a－＋2)，(6分)
n＋1n＋1n1
即(n＋1)an＝n(an－1＋2)＝nan－1＋2n.
∵ bn＝(n＋1)an，∴ bn－bn－1＝2n，(7分) ∴ bn－bn－1＝2n， bn－1－bn－2＝2n－2， ?
b1－b0＝2.
（2＋2n）
累加得bn－b0＝n＝n(n＋1)．(9分)
2
又b0＝a0，
∴ bn＝n(n＋1)＋a0.(10分)
a0(3) 由bn＝n(n＋1)＋a0，得an＝n＋.(12分)
n＋1
若存在正整数k(k≥3)和非负整数a0，使得数列{an}(n≤k)成等差数列， 则a1＋a3＝2a2，(14分)
1a0a
1＋a0?＋3＋0＝2?2＋??a0＝0，(15分) 即??2??3?4
当a0＝0时，an＝n，对任意正整数k(k≥3)，有{an}(n≤k)成等差数列．(16分) [注：如果验证a0、a1、a2不能成等差数列，不扣分]
x2y2
19. (1) 解：设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．
ab
3
由题意得a＝2，e＝.(2分)
2
∴ c＝3，b＝1，(2分)
x22
∴ 椭圆的标准方程为＋y＝1.(4分)
4
(2) 证明：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
1
将y＝x＋m代入椭圆，
2
化简得x2＋2mx＋2(m2－1)＝0，①
∴ x1＋x2＝－2m，x1x2＝2(m2－1)，(6分)
22
∴ x21＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝4，
∴ P、Q两点的横坐标的平方和为定值4.(7分)
DEm－，－?，PQ中点M?－m，?，(3) 解：解法1：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为?2?2??2?
3
PQ的垂直平分线的方程为y＝－2x－m，(8分)
2
DE3
－，－?满足y＝－2x－m， 圆心?2??22E3
所以－＝D－m，②(9分)
22
圆过定点(2，0)，所以4＋2D＋F＝0，③(10分) 圆过P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 22??x1＋y1＋Dx1＋Ey1＋F＝0，?2 2
?x2＋y2＋Dx2＋Ey2＋F＝0，?
两式相加，得
222
x21＋x2＋y1＋y2＋Dx1＋Dx2＋Ey1＋Ey2＋2F＝0，
x2x21?222??x1＋x2＋?1－4?＋?1－4??＋D(x1＋x2)＋E(y1＋y2)＋2F＝0，(11分)
∵ y1＋y2＝m，
∴ 5－2mD＋mE＋2F＝0. ④(12分)
1
∵ 动直线y＝x＋m与椭圆C交于P、Q(均不与A点重合)，
2
∴ m≠－1.
3（m－1）3335
由②③④解得D＝，E＝m＋，F＝－m－，(13分)
42222
代入圆的方程为
3（m－1）?3335
x2＋y2＋x＋?2m＋2?y－m－＝0， ?242
335333
x2＋y2－x＋y－?＋m(x＋y－)＝0，(14分) 整理，得?422??422
335
x2＋y2－x＋y－＝0，
422
∴ (15分)
333
x＋y－＝0，422?x＝0，??x＝2，?解得?或?(舍)
??y＝1y＝0.??
∴ 圆过定点(0，1)．(16分)
1
解法2：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将y＝x＋m代入的圆的方程：
2
E52?2
x＋?m＋D＋2??x＋m＋mE＋F＝0. ⑤(8分) 4
方程①与方程⑤为同解方程．
2（m2－1）12m
＝＝，(11分) 5Em2＋mE＋Fm＋D＋42
圆过定点(2，0)，
∴ 4＋2D＋F＝0.(12分)
1
∵ 动直线y＝x＋m与椭圆C交于P、Q(均不与A点重合)，∴ m≠－1.
2
3（m－1）3335
解得D＝，E＝m＋，F＝－m－.(13分)
42222
(以下同解法1)
20. (1) 解：定义域x∈R，
2x（x2－x＋1）－x2（2x－1）－x2＋2x
f′(x)＝＝，(1分)
（x2－x＋1）2（x2－x＋1）2f′(x)＞0?0＜x＜2，f′(x)＜0?x＜0或x＞2.(2分)
函数f(x)的单调增区间为(0，2)，单调减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(3分)
41
解法1：f(0)＝0，f(2)＝，当x→∞时，f(x)＝→1，(4分)
31?1?2
1－＋?x?x
当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，f(x)∈[0，1)；
40，?. 当x∈[0，＋∞)时，f(x)∈??3??
??
4
0，?.(5分) ∴ 函数f(x)的值域为??3?114
解法2：当x＝0时，f(0)＝0，当x≠0时，f(x)＝≤， 2＝2
11??11?33
－＋1－＋?x?x??x2?4
4
且f(x)＞0，f(2)＝，
3
4
0，?.(5分) ∴ 函数f(x)的值域为??3?解法3：判别式法(略)
(2) 证明：设A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}， 设x0∈A，则f(f(x0))＝f(x0)＝x0，则x0∈B， ∴ A?B.(6分)
xx22
当x≥0时，∵ (x－1)≥0?2≤1?2≤x?f(x)≤x恒成立．
x－x＋1x－x＋1
当且仅当x＝0、1时，f(x)＝x.(7分)
令t＝f(x)，当且仅当x＝1时，t＝f(x)＝1. 当x＜0时，由(1)f(f(x))＝f(t)＞0， ∴ 当x＜0时，f(f(x))＝x无解．(8分)
当0＜x≠1时，∵ f(f(x))＝f(t)＜t＝f(x)＜x， ∴ 当0＜x≠1时，f(f(x))＝x无解．(9分)
综上，除x＝0，1外，方程f(f(x))＝x无解，∴ A＝B. ∴ {x|f(x)＝x}＝{x|f(f(x))＝x}．(10分)
a2a2nn(3) 证明：① 显然an＋1＝2＝，
1?23an－an＋1?
?an－2?＋4
1
又a1＝，∴ an＞0，
2an＋1an11∴ ＝2＝≤＝1，(11分)
anan－an＋112－1
an＋－1
an
∴ an＋1≤an.若an＋1＝an，则an＝1矛盾． ∴ an＋1＜an.(12分) ② 证法1：
2an－1
an＝2，
an－1－an－1＋1111∴ ＝1－＋2， anan－1an－1111∴ －1＝－＋2， anan－1an－111∴ ＝ 111－1－＋anan－1a2n－1
111
＝＝－，
11?1－1?1－1
an－1?an－1?an－1an－1
11
∴ an－1＝－(n≥2)，(14分)
11－1－1
anan－1∴ Sn＝错误!错误!＝错误!－错误!＝1－错误!.(15分) 1
∵ 0＜an＋1＜an＜，
2an＋1
∴ Sn＝1－＜1.(16分)
1－an＋1
证法2：
a2n－1
∵ an＝2 an－1－an－1＋1
1
＜(13分)
11111－＋－＋an－1a2an－1a2n－1n－1
111
＝＝－ 111?1
－1?－1aan－1an－1?n－1?an－1
1
＝－an－1＋(14分)
11－＋2an－2an－2
1
＝－an－1－an－2＋＝?
11－＋an－3a2n－3
1
＝－an－1－an－2－?－a1＋(15分)
1－1a1
＝1－an－1－an－2－?－a1，
∴ Sn＝a1＋a2＋?＋an＜1.(16分) ＝
1