?（1－t）a－t＝a，
a函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调增，所以[a，b]?(－∞，0)或[a，b] ?(0，＋∞)，所以?
（1－t）b－t
?b＝b，
0
?（1－t）a－t＝a，
（1－t）x－t
a或?所以方程＝x有两个不同的负实根或两个不同的正实根，即方程x－(1－
x
（1－t）b－t
?b＝b.
22
2
2
2
2
a 1 t)x＋t2＝0有两个不同的负实根或两个不同的正实根，所以Δ＝(1－t)2－4t2>0，－1 3 1?242322?所以方程只能有两个不同的正实根，所以b－a＝（a＋b）－4ab＝－3t－2t＋1＝－3?t＋3?＋≤. 33 本题主要考查函数的性质及应用．考查了函数与方程、不等式的思想及灵活运用相关基础知识解决问题的能力．属于难题． 1 15. 解：(1) f(x)＝(m＋n)·m＝sin2x＋1＋3sinxcosx＋ 2 1－cos2x3131＝＋1＋sin2x＋＝sin2x－cos2x＋2 22222 π ＝sin?2x－?＋2，(6分) 6?? 2π ∵ ω＝2，∴ T＝＝π.(8分) 2 ππ5πππ (2) ∵ x∈?，?，∴ ≤2x－≤，(9分) 366?42? π1 ∴ ≤sin?2x－?≤1，(11分) 26??5 ∴ ≤f(x)≤3.(12分) 2 ππ ∵ 方程f(x)－t＝0在x∈?，?上有解， ?42? 5?5 ∴ ≤t≤3，∴ 实数t的取值范围为??2，3?.(14分) 2 16. (1) 证明：∵ BD⊥平面PAC，PC?平面PAC， ∴ PC⊥BD.(2分) 4 在△PAC中，AC＝10，PA＝6，cos∠PCA＝， 5 222 ∴ PA＝PC＋AC－2PC3ACcos∠PCA， 即36＝PC＋100－16PC，∴ PC＝8. ∴ AC2＝PC2＋PA2， ∴ PC⊥PA.(4分) 连结MO， ∵ M是PC的中点，O是AC的中点， ∴ PA∥MO，∴ PC⊥MO.(6分) 又BD∩MO＝O， ∴ PC⊥平面BMD.(8分) 2 11 (2) 解：由题意，得VM BCD＝VC MBD＝S△MBDCM＝BD3MO3CM＝14，(10分) 36 11 ∵ CM＝PC＝4，MO＝PA＝3， 22 ∴ BD＝7，(12分) ∴ 菱形ABCD的边长AB＝AO2＋OB2＝ 149.(14分) 2 17. 解：(1) 如图，在等腰梯形CDEF中，DH是高． 11DH412 依题意：DH＝AB＝x，EH＝＝3x＝x，(3分) 22tan∠FED323 413915395 x＋x＋x?x＝xy＋x2，∴ y＝－x.(6分) ∴ ＝xy＋?3?222?62x6 395365 ∵ x＞0，y＞0，∴ －x＞0，解之得0＜x＜. 2x65395365?∴ 所求表达式为y＝－x?0＜x＜.(7分) 2x6?5? 33 (2) 在Rt△DEH中，∵ tan∠FED＝，∴ sin∠FED＝， 45 DH155 ∴ DE＝＝x3＝x，(9分) sin∠FED236 25 23x＋x?＝2y＋6x ∴ l＝(2x＋2y)＋23x＋??6?3 39539133913＝－x＋6x＝＋x≥23x＝26，(11分) x3x3x3 3913 当且仅当＝x，即x＝3时取等号，(12分) x3395 此时y＝－x＝4， 2x6 ∴ AB＝3 m，BC＝4 m时，能使整个框架所用材料最少．(14分) c2331 18. 解：(1) 由题意：2＝，∴ c2＝a2，b2＝a2.(2分) a444 41 又P(2，1)在椭圆上，∴ 2＋2＝1，∴ a2＝8，b2＝2， ab22xy ∴ 椭圆C方程为＋＝1.(4分) 82 (2) 设直线PA的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程，得 (1＋4k2)x2－8(2k－1)x＋16k2－16k－4＝0.(6分) 8k2－8k－2－4k2－4k＋1 ∵ 方程一根为2，∴ xA＝，yA＝， 1＋4k21＋4k28k2－8k－2－4k2－4k＋1??，∴ A?.(8分) 1＋4k2??1＋4k2? ∵ PA与PB倾斜角互补，∴ kPA＝－kPB， 8k2＋8k－2－4k2＋4k＋1??，∴ 同理可得B??，(10分) 1＋4k2??1＋4k2yB－yA1 ∴ kAB＝＝，(12分) xB－xA2 1 设直线AB的方程为y＝x＋m，即x－2y＋2m＝0， 2 M(－2m，0)，N(0，m)(m＜0)， |2－2＋2m||2m|d＝＝，MN＝4m2＋m2＝5|m|， 551|2m|3 ∴ S△PMN＝5|m|＝， 252 66 ，m＝(舍去)，(15分) 22 ∴ 所求直线AB的方程为x－2y＋6＝0.(16分) 19. 解：(1) ∵ an＋1＝Sn＋1－Sn， 2 ∴ (Sn＋1－Sn)(Sn＋1＋Sn－2)＝2，即S2∴ (Sn＋1－1)2－(Sn－1)2＝2，且(S1－1)2＝1， n＋1－Sn－2(Sn＋1－Sn)＝2，∴ m＝－ ∴ {(Sn－1)2}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴ Sn＝1＋2n－1.(4分) (2) ① n＝1时，S1＝1＋1＝2＝b1， n＝5时，S5＝1＋3＝4＝b2， n＝13时，S13＝1＋5＝6＝b3.(10分) ② ∵ 2n－1是奇数，Sn＝1＋2n－1为有理数，则2n－1＝2k－1，∴ n＝2k2－2k＋1，(12分) 当k＝20时，n＝761；当k＝21时，n＝841；(14分) ∴ 存在N∈[761，840]，当n≤N时，使得在{Sn}中，数列{bk}有且只有20项．(16分) 20. 解：(1) 由P(2，c)为公共切点，可得 f(x)＝ax2＋1(a＞0)，则f′(x)＝2ax，k1＝4a， g(x)＝x3＋bx，则g′(x)＝3x2＋b，k2＝12＋b，(2分) 又f(2)＝4a＋1，g(2)＝8＋2b，(3分) ??4a＝12＋b，17∴ ?解得a＝，b＝5.(5分) 4??4a＋1＝8＋2b，(2) ① h(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，则h′(x)＝3x2＋2ax＋b. ab ∵ 函数f(x)＋g(x)的单调递减区间为?－，－?， 3??2 ab ∴ x∈?－，－?时，有3x2＋2ax＋b≤0恒成立．(6分) 3??2b 此时x＝－是方程3x2＋2ax＋b＝0的一个根， 32bb∴ 3?－?＋2a?－?＋b＝0，得a2＝4b，(7分) ?3??3? 1 ∴ h(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋a2x＋1. 4 aaaa －∞，－?上单调递增，在?－，－?上单调递减，在?－，＋∞?上单调递增， 又函数h(x)在?2?6???2?6? 2 aa (ⅰ) 若－1≤－，即a≤2时，最大值为h(－1)＝a－；(8分) 24 aaa －?＝1；(9分) (ⅱ) 若－＜－1＜－，即2＜a＜6时，最大值为h??2?26 aa －?＝1.(10分) (ⅲ) 若－1≥－时，即a≥6时，最大值为h??2?6 a2??a－4，0＜a≤2， 综上所述，M(a)＝?(11分) ??1，a＞2. aaaa －∞，－?上单调递增，在?－，－?上单调递减，在?－，＋∞?上单调递增， ② 由①可知h(x)在?2?6???2?2? 3 aaaaa －?为极大值，h?－?＝1，h?－?为极小值，h?－?＝－＋1.(13分) ∴ h??2??2??6??6?54 ∵ |f(x)＋g(x)|≤3，在x∈[－2，0]上恒成立， 又h(0)＝1， 1 h（－2）≥－3，－a2＋4a－7≥－3，?2? ∴ ??a?即 3 a－h≥－3，???6?－＋1≥－3，54 ?4－22≤a≤4＋22，解得?(15分) ?a≤6， ∴ a的取值范围是4－22≤a≤6.(16分) ??? 常州市2013届高三上学期期末考试 1. 0 解析：根据集合的定义，a≠1，a≠1，所以a＝a，a＝0. 本题主要考查集合的基本概念、运算等基础知识，属于容易题． － （－1＋i）（－1－i）z·z2 2. －i 解析：z＝－1＋i，＝＝＝ －i.本题主要考查复数的基本概念、基 －（－1＋i）－（－1－i）2iz－z 本运算、共轭复数等基础知识，属于容易题． 3. 5 解析：双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，则由直线过点(1，2)，得b－2a＝0，b2＝4a2＝c2－ c a2，5a2＝c2，＝5. a 本题考查圆锥曲线的几何量之间关系，属于容易题． ＋ 4. 11 解析：0＋1＋2＋22＋?＋2n＝2n1－1，210－1＝1 023，当n＝11时S>1 023，输出n＝11. 本题主要考查算法流程图的基础知识，属于容易题． 1 8C184C25. 解析：概率P＝2＝.本题主要考查古典概型，属于容易题． 15C615 πxπ（x－1）πxπx12π 6. 2 解析：f(x)＝coscos＝cos2sin＝sinπx，最小正周期为T＝＝2. 22222π 本题主要考查三角公式及三角函数的性质，属于容易题． 7. (－∞，2] 解析：函数f(x)＝log2(4－x2)的真数y＝4－x2的值域为(0，4]，而底数2＞1，函数值域为(－∞，2]． 本题考查复合函数的性质及运算求解能力，属于容易题． 8. 7 解析：y′＝3ax2＋2bx，由题知a＋b＋d＝1，－a＋b＋d＝－3，3a＋2b＝3a－2b，从上面三个式子中解出a＝2，b＝0，d＝－1，a3＋b2＋d＝7. 本题考查函数的导数等基础知识，属于容易题． 9. π 解析：由a＋2b＝(2，－4)，3a－b＝(－8，16)，可得a＝(－2，4)，b＝(2，－4)，a＝－b，故两向量共线且反向，故夹角为π. 本题考查向量的坐标运算及向量夹角问题．考查运算求解能力．属于中等题． 10. ①③④ 解析：本题考查立体几何中线线、线面、面面之间的关系，②是错误的，这两条直线相交时才能成立．立体几何中的概念辨析要会举反例．属于中等题． 1 0，? 解析：在同一个直角坐标系中作出函数y＝f(x)、y＝kx的图象，函数y＝f(x)图象最高点坐标11. ??2?2 为A(2，1)，过点O、A的直线斜率为2，x≥2时，f(x)＝单调减且f(x)＞0，直线y＝kx过原点，所以斜率0 x ＜k＜2时，两个函数的图象恰有两个交点． 本题考查分段函数的图象及性质，考查了函数与方程的思想及数形结合、分类讨论的思想．属于中等题． 2·3n－n－212. 4 12122an解析：由2－an＋1＝，得an＋1＝2－＝. an＋6an＋6an＋6 4 由a1＝，得an>0， 3 11?13111?11? ＋，数列?＋?为等比数列， 所以＝＋，＋＝3??an4?an＋1an2an＋14?an4?1111－－ 所以＋＝3n1，＝3n1－， an4an4 nn3n－n－213－112· ∑ ＝－n＝. 244i＝1ai 本题以数列的递推关系为载体，通过转化构造等比数列，考查了等差、等比数列的前n项和公式．本题主要考查分析问题与解决问题的能力，属于难题． → 13. 4＋42 解析：M、N两点坐标分别为M(2，0)、N(0，－2)，设点P(x，y)且x2＋y2＝4，PM＝(x－2，→→→ y)，PN＝(x，y＋2) ，PM2PN＝x(x－2)＋y(y＋2)＝x2＋y2－2x＋2y＝4－2x＋2y，解法1：令x＝2cosθ，y＝ π 2sinθ，则4－2x＋2y＝4＋4sinθ－4cosθ＝4＋42sin?θ－?，最大值为4＋42；解法2：令4－2x＋2y＝t， 4??|－4＋t||－4＋t| 则圆心(0，0)到直线4－2x＋2y－t ＝0的距离为d＝，点P(x，y)在圆上，所以d≤2，≤2，4－ 4＋44＋4 42≤t≤4＋42，故最大值为4＋42. 本题考查向量、圆、直线与圆的位置关系等基础知识．考查了数形结合的思想，考查了转化的思想．属于 中等题． ?5?5555－－－ 14. ?6? 解析：在不等式27y－4x≤1 两边同乘以，得(27y－4x)≤，将 4x＋27y＝代入上式，得(4x 6666?? yx 52745－ ＋27y)(27y－4x)≤，所以x－y≤. 64276y2715327y3令t＝x，则t－≤，t≤，t＝x≤， 4t6242 35－－ 所以27y≤34x.又4x＋27y＝， 265－131－ 所以27y＝－4x＞0，≤34x，4x≥2，x≥， 6522－ －4x6 1 同理可得y≤， 311 所以log27y≤－，log4x≥－， 32 1 所以log27y－log4x≤， 61115 而log27y－log4x≥，当且仅当x＝，y＝时取等号，所以x＋y＝. 6236 本题考查函数与不等式的知识，考查了函数与方程、不等式的思想及灵活运用相关知识解决问题的能力．属于难题． π 15. 解：(1) ∵ α、β∈?0，?， 2?? ππ∴ －＜α－β＜. 22 1 又tan(α－β)＝－＜0， 3 π ∴ －＜α－β＜0.(4分) 2 10 ∴ sin(α－β)＝－.(6分) 10 310 (2) 由(1)可得，cos(α－β)＝.(8分) 103 ∵ α为锐角，sinα＝， 5 4 ∴ cosα＝.(10分) 5 ∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)(12分) 43103?10?910＝3＋3－＝.(14分) 5105?10?50 16. 证明：(1) 因为点M、N分别是PA、PB的中点， 所以MN∥AB. 因为CD∥AB，所以MN∥CD.(2分) 又CD?平面PCD，MN?平面PCD， 所以MN∥平面PCD.(4分) (2) 因为AD⊥AB，CD∥AB， 所以CD⊥AD. 因为PD⊥底面ABCD，CD?平面ABCD， 所以CD⊥PD. 因为AD∩PD＝D， 所以CD⊥平面PAD.(6分) 因为MD?平面PAD， 所以CD⊥MD. 又MN∥CD，MN≠CD， 所以四边形MNCD是直角梯形．(8分) (3) 因为PD⊥底面ABCD， 所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角， 从而∠PAD＝60°.(9分)