－5－97－5＋97解得≤t≤. 44－5＋977因为＜，
44
－5＋97??－5－97
所以t∈??.(12分) ≤t≤
44??3
② 若2≤2t－＜3，
2
79
即≤t＜时，dn＋1＞dn(n∈N，n≥3)． 44
由题意得d2＝d3，即4(2t－2)332＝4(2t－3)333，
7
解得t＝. 4
3
③ 若m≤2t－＜m＋1(m∈N，m≥3)，
2
m3m5
即＋≤t＜＋(m∈N，m≥3)时， 2424
dn＋1≤dn(n∈N，2≤n≤m)；dn＋1≥dn(n∈N，n≥m＋1)．
2m＋3＋
由题意得dm＝dm＋1，即4(2t－m)33m＝4(2t－m－1)33m1，解得t＝. 4
－5－97－5＋972m＋3
综上所述，t的取值范围是{t|≤t≤或t＝，m∈N，m≥2}．(16分)
444
南通市2013届高三第一次调研测试
1. (－∞，－1] 解析：∵ A＝{x|x>－1}，U＝R，∴ ?UA＝(－∞，－1]．
3－2i（3－2i）（－i）
2. 三 解析：z＝＝＝－2－3i.本题考查复数的基本概念及运算、复数的几何意义等
ii（－i）
基础知识，属于容易题．
1
3. 48 解析：正四棱锥的斜高为32＋（7）2＝4，故S侧＝3(634)34＝48.
2
11－
4. 解析：由已知，f(x)是以2为周期的周期函数，故f(2 013)＝f(231 007－1)＝ f(－1)＝41＝.本题考44
查函数关系与函数的性质等基础知识，属于容易题．
5. 否命题 解析：命题p与q符合互为否命题的关系． x2y2c
6. －＝1 解析：圆心(5，0)，也是双曲线的焦点，即c＝5.又e＝＝5，则a＝5，b＝25，故该双520a
22xy
曲线的标准方程为－＝1.本题考查圆的方程、圆锥曲线的方程和几何性质等基础知识，属于容易题．
520
???9a5＝－36，?a5＝－4，?7. ±42 解析：由已知得即?故a5与a7的等比中项为±a5a7＝±42. ?13a7＝－104，??a7＝－8，?
3
8. 解析：由流程图知，当输入x时，各次循环输出的结果分别是2x＋1，2(2x＋1)＋1＝4x＋3，2(4x＋8
??8x＋7≥55，9－63
3)＋1＝8x＋7，此时退出循环．由?解得6≤x≤9，故输出的x不小于55的概率为P＝＝. 9－18?1≤x≤9，?
1→→→→→→→→→→→→→9. 解析：∵ |AB＋AC|＝|BC|，|AB＋AC|＝|AC－AB|，∴ |AB＋AC|2＝|AC－AB|2，即|AB|2＋|AC|2＋2→→→→→→→→→→
2AB2AC＝|AB|2＋|AC|2－2AB2AC，即AB2AC＝0，∴ AB⊥AC，即AB⊥AC.又AB＝1，AC＝3，∴ BC
→→
11BA·BC1→→→→22＝AB＋AC＝2，cosB＝，∴ BA2BC＝|BA||BC|cosB＝1323＝1，故＝.
222→
|BC|
2x－y＋1>0，???
10. －2 解析：因为0＜a＜1，所以原不等式等价于?3y－x＋2>0，即?3y－x＋2>0，画出可行域
??2x－y＋1<3y－x＋2，??3x－4y－1<0.
??2x－y＋1＝0，
(如图)，考查z＝x＋y的取值范围，由?得解为(－1，－1)，从而z>－1－1＝－2，故满足λ＜x
?3y－x＋2＝0，?
?2x－y＋1>0，
＋y的λ的最大值为－2.本题主要考查线性规划知识、等价转化及数形结合等数学思想，属于中等题．
f′（1）f′（1）xf′（1）12f′（1）x1
11. y＝ex－ 解析：由已知得f(0)＝，∴ f(x)＝e－x＋x，∴ f′(x)＝e－
2eee2e
f′（1）
＋x， e
f′（1）f′（1）11
∴ f′(1)＝e－＋1，即f′(1)＝e，从而f(x)＝ex－x＋x2，f′(x)＝ex－1＋x，∴ f(1)＝e－，ee22
11
e－?＝e(x－1)，即y＝ex－.本题主要考查导数的计算、导数的几何意义，考查f′(1)＝e，故切线方程为y－??2?2
等价转化、函数与方程等数学思想，属于中等题．
12. －1.5 解析：因简谐振动的物体的位移s与时间t之间的函数关系为s＝Asin(ωt＋φ)，且由题意，A＝2π2ππ2π
3，＝3，所以ω＝，s＝3sin?t＋φ?.又当t＝0时，s＝3，所以3＝3sinφ，即sinφ＝1，φ＝2kπ＋
32?3?ω
2π10π2ππ3
(k∈Z)，所以s＝3sin?t＋?＝3cos3t.故当t＝5时，s＝3cos3＝－2. 2??3
13. (－1，0)∪(0，2) 解析：由题意，圆心C(－1，0)，点P(x0，2x0)．因为PA＝PB，所以CP⊥AB，从
x0＋12x0而有kCPkAB＝－1，所以2a＝－1，即a＝－.又把y＝ax＋3代入x2＋y2＋2x－8＝0，得(a2＋1)x2＋(6a
2x0x0＋1
x0＋1x0＋133
＋2)x＋1＝0，则有Δ＝(6a＋2)2－4(a2＋1)＝8a(4a＋3)>0，解得a>0或a<－，所以－＞0或－<－.42x02x04
由此解得－1 3x＋y－5x＋3y－73（x－1）＋y－23（y－2）＋x－1y－2x－1 14. (2，3) 解析：∵ m＝＋＝＋＝6＋＋，x－1y－2x－1y－2x－1y－2 y－2x－1y－2x－1 又x>3，y＝x2－1>2，∴ x－1>0，y－2>0，∴ ＋≥2，当且仅当＝时等号成立，即y＝x x－1y－2x－1y－2 ??x＝2，2 ＋1，与y＝x－1联立，解得?故m的最小值为8，此时点P(2，3)．本题主要考查函数的性质及基本不 ?y＝3.? 等式的运用，考查函数与方程、等价转化等数学思想，属于难题． 15. 证明：(1) 连结A1B和A1C.因为E、F分别是侧面AA1B1B和侧面AA1C1C的对角线的交点，所以E、F分别是A1B和A1C的中点．所以EF∥BC.(3分) 又BC?平面ABC，EF?平面ABC，所以EF∥平面ABC.(6分) (2) 因为三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱，所以A1A⊥平面ABC，所以BC⊥A1A.故由EF∥BC，得EF⊥A1A.(8分) 又D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以BC⊥AD. 故由EF∥BC，得EF⊥AD.(10分) 而A1A∩AD＝A，A1A、AD?平面A1AD， 所以EF⊥平面A1AD.(12分) 又EF?平面AEF，故平面AEF⊥平面A1AD.(14分) sinA＋sinBsinCsinA＋sinB 16. 解：(1) 因为tanC＝，即＝， cosCcosA＋cosBcosA＋cosB 所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB， 得sin(C－A)＝sin(B－C)．(4分) 所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)． π 即2C＝A＋B，得C＝.(7分) 3 πππ2πππ (2) 由C＝，设A＝＋α，B＝－α，0＜A、B＜，知－＜α＜. 333333 因为a＝2RsinA＝sinA，b＝2RsinB＝sinB，(8分) 1－cos2A1－cos2B 所以a2＋b2＝sin2A＋sin2B＝＋ 22 2π2π11 ＝1－?cos?＋2α?＋cos?－2α??＝1＋cos2α.(11分) 2??32??3??ππ2π2π1 由－＜α＜，知－＜2α＜，－＜cos2α≤1， 3333233 故＜a2＋b2≤.(14分) 42 17. 解：(1) 由题意，AB＝x，BC＝2－x. 因为x＞2－x，故1＜x＜2.(2分) 设DP＝y，则PC＝x－y. 因为△ADP≌△CB′P，故PA＝PC＝x－y. 1 1－?，1＜x＜2.(5分) 由PA2＝AD2＋DP2，得(x－y)2＝(2－x)2＋y2?y＝2??x?(2) 记△ADP的面积为S1，则 1 1－?(2－x)(6分) S1＝??x? 2 x＋?≤3－22， ＝3－??x? 当且仅当x＝2∈(1，2)时，S1取得最大值．(8分) 故当薄板长为2 m，宽为(2－2) m时，节能效果最好．(9分) (3) 记凹多边形ACB′PD的面积为S2，则 1411 1－?(2－x)＝3－?x2＋?， S2＝x(2－x)＋?x??x?22? 1＜x＜2.(10分) 4?－x3＋21?3于是S2′＝－?2x－x2?＝＝0?x＝2.(11分) 22x33 关于x的函数S2在(1，2)上递增，在(2，2)上递减． 3所以当x＝2时，S2取得最大值．(13分) 33故当薄板长为2 m，宽为(2－2) m时，制冷效果最好．(14分) 1·（a1－a1） 18. (1) 解：令n＝1，则a1＝S1＝＝0.(3分) 2 n（an－a1）nan(2) 证明：由Sn＝，即Sn＝， ① 22 （n＋1）an＋1 得Sn＋1＝. ② 2 ②－①，得(n－1)an＋1＝nan. ③ 于是nan＋2＝(n＋1)an＋1. ④ ③＋④，得nan＋2＋nan＝2nan＋1，即an＋2＋an＝2an＋1.(7分) 又a1＝0，a2＝1，a2－a1＝1， 所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以，an＝n－1.(9分) 2p (3) 解：假设存在正整数数组(p，q)，使b1、bp、bq成等比数列，则lgb1、lgbp、lgbq成等差数列，于是p＝3 1q ＋.(11分) 33q2p1?所以q＝3q??3p－3?.(*) 易知(p，q)＝(2，3)为方程(*)的一组解．(13分) 2（p＋1）2p2－4p?2p?2p12331 ??p当p≥3，且p∈N*时，－＝＜0，故数列(p≥3)为递减数列，于是－≤3－＜p＋＋33p333?3?3p13p10，所以此时方程(*)无正整数解． 综上，存在唯一正整数数对(p，q)＝(2，3)，使b1、bp、bq成等比数列．(16分) 19. (1) 解：依题设c＝1，且右焦点F′(1，0)． 2232?23?所以，2a＝EF＋EF′＝（1＋1）＋＋＝23，b2＝a2－c2＝2， 3?3?22xy 故所求的椭圆的标准方程为＋＝1.(4分) 32 (2) 解：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 2 x2y2x2y2112＋＝1，①＋＝1.② 3232 （x2－x1）（x2＋x1）（y2－y1）（y2＋y1） ②－①，得＋＝0. 32 y2－y12（x2＋x1）4xP2 所以k1＝＝－＝－＝－.(9分) 6yP3x2－x13（y2＋y1） (3) 证明：依题设，k1≠k2. 设M(xM，yM)，直线AB的方程为y－1＝k1(x－1)，即y＝k1x＋(1－k1)，亦即y＝k1x＋k2，代入椭圆方程 22 并化简得(2＋3k21)x＋6k1k2x＋3k2－6＝0. －3k1k22k2于是xM＝.(11分) 2，yM＝2＋3k12＋3k21 －3k1k22k1同理xN＝. 2，yN＝2＋3k22＋3k22 2 yM－yN4＋6（k2＋k2k1＋k210－6k2k11） 当k1k2≠0时，直线MN的斜率k＝＝＝.(13分) xM－xN－9k2k1（k2＋k1）－9k2k110－6k2k1?－3k1k2?2k2直线MN的方程为y－?x－2＋3k2?， 2＝2＋3k1－9k2k1?1? 10－6k2k1?10－6k2k13k1k22k2? 2即y＝x＋??， 2＋ －9k2k1?－9k2k12＋3k12＋3k21?10－6k2k122 0，－?.(15分) 亦即y＝x－.此时直线过定点?3??3－9k2k1 20，－?. 当k1k2＝0时，直线MN即为y轴，此时亦过点?3??2 0，－?.(16分) 综上，直线MN恒过定点，且坐标为?3?? 20. 解：(1) 因为f(x)在(1，＋∞)上为减函数， lnx－1 所以f′(x)＝－a≤0在(1，＋∞)上恒成立．(2分) （lnx）2所以当x∈(1，＋∞)时，f′(x)max≤0. lnx－11?2111?21??又f′(x)＝－a＝－?lnx?＋－a＝－?lnx－2?＋－a， lnx4（lnx）2111故当＝，即x＝e2时，f′(x)max＝－a. lnx24111 所以－a≤0，于是a≥，故a的最小值为.(6分) 444 2 (2) 命题“若?x1、x2∈[e，e]，使f(x1)≤f′(x2)＋a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f(x)min≤f′(x)max ＋a”．(7分) 1 由(1)，当x∈[e，e2]时，f′(x)max＝－a， 4 1 ∴ f′(x)max＋a＝. 4 1 问题等价于“当x∈[e，e2]时，有f(x)min≤”．(8分) 4 1 ① 当a≥时，由(1)，f(x)在[e，e2]上为减函数， 4 e21112 则f(x)min＝f(e)＝－ae2≤，故a≥－2.(10分) 2424e 11?211?② 当a＜时，由于f′(x)＝－?lnx－2?＋－a在[e，e2]上为增函数， 44 1 －a，－a?. 故f′(x)的值域为[f′(e)，f′(e2)]，即?4?? (ⅰ) 若－a≥0，即a≤0，f′(x)≥0在[e，e2]恒成立，故f(x)在[e，e2]上为增函数， 1 于是，f(x)min＝f(e)＝e－ae≥e＞，不合．(12分) 41 (ⅱ) 若－a＜0，即0＜a＜，由f′(x)的单调性和值域知存在唯一x0∈(e，e2)，使f′(x0)＝0，且满足： 4 当x∈(e，x0)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(x0，e2)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数． x01 所以，f(x)min＝f(x0)＝－ax0≤，x0∈(e，e2)． lnx04 11111111 所以，a≥－＞2－＞－＝，与0＜a＜矛盾，不合．(15分) lnx04x0lne4e2444 11 综上所述，实数a的取值范围为a≥－2.(16分) 24e