在Rt△PDA中，AD＝2，PD＝6，PA＝22，MD＝2.
在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝3，CD＝3，CN＝MD2＋（CD－MN）2＝6， 从而DN2＋CN2＝CD2，所以DN⊥CN.(11分)
在Rt△PDB中，PD＝DB＝6，N是PB的中点， 则DN⊥PB.(13分)
又PB∩CN＝N，所以DN⊥平面PCB.(14分)
17. 解：(1) 当l＞a＋b＋a2＋b2时，不能构成满足条件的三角形；当l≤a＋b＋a2＋b2时， 设AF＝y，则x＋y＋x2＋y2＝l，
2lx－l2
整理，得y＝.(2分)
2（x－l）l（2x2－lx）1
S＝xy＝，x∈(0，b]．(4分)
24（x－l）
22
l2x－4lx＋l
(2) S′＝2，x∈(0，b]．(6分)
4（x－l）22±2
令S′＝0，得2x2－4lx＋l2＝0，x＝l.(8分)
2
l
因为0＜x＜b＜，
2
2－2?2－2?上单调递增，在?2－2?上单调递减；
所以当2b＜l＜(2＋2)b时，b＞l，S在?0，???ll，b22???2?
2－2
所以当x＝l时，S的极大值也是最大值，
2
3－222
Smax＝l；(10分)
4
2－2bl（2b－l）
当l≥(2＋2)b时，b≤l，S在(0，b]上单调递增，当x＝b时，Smax＝；(12分)
24（b－l）
2－2
故当△AEF的周长l满足2b＜l＜(2＋2)b时，取AE＝l，直角三角形地块AEF的面积S最大，
2
3－222
Smax＝l；
4当△AEF的周长l满足(2＋2)b≤l≤a＋b＋a2＋b2时，取AE＝b，直角三角形地块AEF的面积S最大，
bl（2b－l）Smax＝.(14分)
4（b－l）
→→
18. 解：(1) ∵ AF2＋5BF2＝0，
→→∴ AF2＝5F2B.
∴ a＋c＝5(a－c)，
c2
化简，得2a＝3c，故椭圆的离心率e＝＝.(3分)
a34
(2) 存在满足条件的常数λ，λ＝－.
7
∵ 点D(1，0)为OF2的中点，
∴ c＝2，从而a＝3，b＝5，左焦点F1(－2，0)，
x2y2
椭圆E的方程为＋＝1.(5分)
95
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
x1－1
则直线MD的方程为x＝y＋1，
y1
x2y2
代入椭圆方程＋＝1，
955－x1x1－1
整理，得2y2＋y－4＝0.(7分)
y1y1y1（x1－1）
∵ y1＋y3＝，
x1－54y1∴ y3＝. x1－5
5x1－9?5x1－9，4y1?.(9分)
从而x3＝，故点P??x1－5?x1－5x1－5?
?5x2－9，4y2?.(10分)
同理，点Q???x2－5x2－5?
∵ 三点M、F1、N共线，
y1y2
∴ ＝， x1＋2x2＋2
从而x1y2－x2y1＝2(y1－y2)．(12分)
4y14y2－x1－5x2－5x1y2－x2y1＋5（y1－y2）7y1－y27y3－y4
从而k2＝＝＝＝3＝k.(15分)
4x1－x241x3－x45x1－95x2－94（x1－x2）
－
x1－5x2－5
44
故k1－k2＝0.从而存在满足条件的常数λ，λ＝－.(16分)
77
19. 解：∵ {an}是等差数列， ∴ a1＋a3＝2a2.
∵ a1＋a2＋a3＝15，∴ a2＝5.(2分)
2
∵ {bn}是等比数列，∴ b1b3＝b2. ∵ b1b2b3＝27，∴ b2＝3.(4分)
(1) 由题设，a1＝b2＝3，从而等差数列{an}的公差等于2， 故等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.(6分)
进而a4＝9，b3＝a4＝9，等比数列{bn}的公比等于3，
－
故等比数列{bn}的通项公式为bn＝3n1.(8分)
3
(2) 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则a1＝5－d，b1＝，a3＝5＋d，b3＝3q.
q
∵ a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列， ∴ (a1＋b1)·(a3＋b3)＝(a2＋b2)2＝64.
设a1＋b1＝m，a3＋b3＝n，m、n∈N*，则mn＝64，
3??5－d＋q＝m，
?
??5＋d＋3q＝n.
整理，得d2＋(m－n)d＋5(m＋n)－80＝0.(10分) ∵ a3＝5＋d，
∴ 欲使得a3最大，必须且只须d最大， ∴ 上面方程必有解，
－（m－n）＋（m－n）2－20（m＋n）＋320
从而d＝(舍去较小者)，
2
n－m＋（m＋n－10）2－36∴ d＝.(12分)
2
欲使得d最大，必须且只须n－m及(m＋n－10)2取最大值， ∵ m、n∈N*，mn＝64，
∴ 当且仅当n＝64且m＝1时，n－m及(m＋n－10)2取最大值．(14分)
63＋761
从而最大的d＝，
273＋761
∴ 最大的a3＝.(16分)
2
20. 解：(1) 若a＝1，则f(x)＝x|x－1|－lnx.
2
12x－x－12
当x∈[1，e]时，f(x)＝x－x－lnx，f′(x)＝2x－1－＝＞0，
xx
所以f(x)在[1，e]上单调增，
所以f(x)max＝f(e)＝e2－e－1.(2分)
(2) 由于f(x)＝x|x－a|－lnx，x∈(0，＋∞)． (ⅰ) 当a≤0时，则f(x)＝x2－ax－lnx，
2
12x－ax－1
f′(x)＝2x－a－＝，
xx
a＋a2＋8
令f′(x)＝0，得x0＝＞0(负根舍去)，
4
且当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，
?a＋a2＋8??a＋a2＋8?
所以f(x)在?0，?上单调减，在?，＋∞?上单调增．(4分)
44????
(ⅱ) 当a＞0时，
2
12x－ax－1
① 当x≥a时，f′(x)＝2x－a－＝，
xx
令f′(x)＝0，
a＋a2＋8?a－a2＋8?，
得x1＝??x＝＜a，舍去44?2?a＋a2＋8若≤a，即a≥1，则f′(x)≥0，所以f(x)在(a，＋∞)上单调增；
4a＋a2＋8若＞a，即0＜a＜1，则当x∈(a，x1)时，f′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)
4
a＋a2＋8?a＋a2＋8???在区间?a，?上单调减，在?，＋∞?上单调增．(6分)
44????
2
1－2x＋ax－1
② 当0＜x＜a时，f′(x)＝－2x＋a－＝，
xx
令f′(x)＝0，得－2x2＋ax－1＝0，记Δ＝a2－8，
若Δ＝a2－8≤0，即0＜a≤22，则f′(x)≤0，故f(x)在(0，a)上单调减； 若Δ＝a2－8＞0，即a＞22，
a－a2－8a＋a2－8
则由f′(x)＝0，得x3＝，x4＝且0＜x3＜x4＜a，
44
当x∈(0，x3)时，f′(x)＜0；当x∈(x3，x4)时，f′(x)＞0；当x∈(x4，a)时，f′(x)＞0，所以f(x)在区间
22?a－a2－8?上单调减，在(a－a－8，a＋a－8)上单调增；在?a＋a2－8?上单调减．(8分) ?0，??，a?4444????
2a＋a＋8?a＋a2＋8???
综上所述，当a＜1时，f(x)单调递减区间是?0，?，f(x)单调递增区间是?，＋∞?；
44????
当1≤a≤22时，f(x)单调递减区间是(0，a)，f(x)单调递增区间是(a，＋∞)；
a－a2－8??a＋a2－8??
当a＞22时，f(x)单调递减区间是?0，?和?，a?，f(x)单调的递增区间是
44????
22?a－a－8a＋a－8?和(a，＋∞)．(10分) ??，44??
(3) 函数f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)．
lnx
由f(x)＞0，得|x－a|＞. (*)
x
lnx
(ⅰ) 当x∈(0，1)时，|x－a|≥0，＜0，不等式(*)恒成立，所以a∈R；
xlnx
(ⅱ) 当x＝1时，|1－a|≥0，＝0，所以a≠1；(12分)
x
lnxlnx
(ⅲ) 当x＞1时，不等式(*)恒成立等价于a＜x－恒成立或a＞x＋恒成立．
xx
2
x－1＋lnxlnx
令h(x)＝x－，则h′(x)＝.
xx2因为x＞1，
所以h′(x)＞0，从而h(x)＞1.
lnx
因为a＜x－恒成立等价于a＜h(x)min，所以a≤1.
x
x2＋1－lnxlnx
令g(x)＝x＋，则g′(x)＝.
xx21
再令e(x)＝x2＋1－lnx，则e′(x)＝2x－＞0在x∈(1，＋∞)上恒成立，e(x)在x∈(1，＋∞)上无最大值．
x
综上所述，满足条件的a的取值范围是(－∞，1)．(16分)
镇江市2013届高三上学期期末考试
1. {2，4} 解析：本题主要考查集合的基本概念、运算等基础知识，属于容易题．
2. 0 解析：a⊥b?a2b＝0，即2(1－x)－2＝0?x＝0.本题考查向量的有关概念，考查了向量的数量积等运算能力．属于容易题．
223. 解析：由l1∥l2，得13(2－m)＝2m?m＝. 33
本题考查平面解析几何中的直线的位置关系，属于容易题．
1
4. 2 解析：显然x＝0不是方程的解，在同一个直角坐标系中作出函数y＝，y＝lg(x＋2)的图象，它们有
x
两个交点．
本题考查基本初等函数的图象应用，属于容易题．
2π
5. 1 解析：振幅为3，所以周期为2，ωπ＝＝π，ω＝1.
2
本题考查三角函数的性质，属于容易题．
1
6. － 解析：由sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k>0，由余弦定理得cosC＝
4
222
a＋b－c4＋9－161
＝＝－. 2ab124
本题考查正弦定理及余弦定理，属于中等题．
a67. 3 解析：a5＝2S4＋3，①a6＝2S5＋3，② ②－①，得a6－a5＝2a5，a6＝3a5，＝3，公比q＝3.
a5
本题考查等比数列的基本量计算，考查转化能力．属于中等题．
1
8. 1－ 解析：本题考查归纳推理能力．本题属于中等题．
（n＋1）·2n1?22?9. (x±1)＋?y－2?＝1
1
解析：抛物线的准线方程为y＝－，
2
11
设圆心坐标为(a，b)，b>0，半径为r，则b＋＝|a|＝r，且a2＝2b，解得a＝±1，b＝，r＝1，
22
1?22?所以圆的标准方程为(x±1)＋?y－2?＝1.
本题考查圆锥曲线的性质及圆的方程问题，属于中等题．
→→→→→→→?2→→1→?→→?1→→?→
10. －12 解析：EF2AC＝(EC＋CD＋DF)·(AB＋BC)＝?3BC－AB－3BC?2(AB＋BC)＝?3BC－AB?2(AB
121→1→2→→→
＋BC)＝BC2－BC2AB－AB2＝3(23)2－3(23)23－(23)2＝－12.
33332
2π→→
注意：题中∠B＝，故AB与BC的夹角为θ.
3
本题考查向量的基本概念及向量的运算，属于中等题．
58a2a8ac11. 解析：PF1－ PF2 ＝2a , PF1＝4PF2，PF1＝ , PF2＝.P在双曲线右支上，则PF1＝≥a＋c，≤
3333a
55，则离心率的最大值为. 33
本题考查圆锥曲线的几何量及圆锥曲线的性质，属于中等题．
12. 42＋2 解析：四边形PACB的周长l＝PA＋AC＋CB＋BP，根据平面几何知识得PA＝BP，AC＝CB，圆方程化为标准式为(x－1)2＋(y－1)2＝1，AC＝BC＝1，△PAC为直角三角形，所以l＝2＋2PA，转化为求PA
|3＋4＋8|
最小，而PA＝PC2－1，PC最小即为圆心C到直线距离，PC最小值为22＝3，所以l最小值为2＋232－1
3＋4
＝2＋42.
本题考查直线与圆的方程及它们之间的位置关系，考查了点到直线的距离，考查了转化的思想．属于中等题．
111
13. 101 解析：sin2 013°sin210°＝sin33°＝sin(3311)°＝sin11°(3－4sin211°)＝2sin11°
222
?3－sin211°?， ?4?
331
－sin211°＝cos211°－sin211° 444
31??3cos11°－1sin11°? cos11°＋sin11°
22?2??2?
＝sin71°cos41°＝sin71°sin49°＝sin71°sin131° ＝sin71°sin(101°＋30°)．
本题考查三角变换，特殊角的三角函数值，对三角变换要求高，难度大．属于难题．
2
14. 解析：x、y为正数，则
3
x?2x?＋43＋122
?y?yx＋4xy＋yxy
＋＝＝.
x?22x＋yx＋2y2x2＋5xy＋2y2x?2?y?＋53＋2
y3?t2＋4t＋11?1＋x
2令t＝>0，f(t)＝2＝?
y2t＋＋5?2t＋5t＋22t??312
≤?1＋4＋5?＝. 2??3
本题考查换元转化思想、基本不等式等知识的综合应用，属于难题． 15. 解：p：1＜2x＜8，即0＜x＜3，(3分) ∵ 綈p是綈q的必要条件， ∴ p是q的充分条件，(5分)
∴ 不等式x2－mx＋4≥0对?x∈(0，3)恒成立，(7分)
x2＋44
∴ m≤＝x＋对?x∈(0，3)恒成立．(10分)
xx44
∵ x＋≥2x·＝4，当且仅当x＝2时，等号成立．(13分)
xx∴ m≤4.(14分)
16. 解：(1) 设△ABC的角A、B、C所对应的边分别为a、b、c.
→→
∵ AB2AC＝S，
1
∴ bccosA＝bcsinA，(2分)
21
∴ cosA＝sinA，
2
∴ tanA＝2.(4分)
2tanA4
∴ tan2A＝2＝－.(5分) 31－tanA
→→→
(2) |CB－CA|＝3，即|AB|＝c＝3，(6分)
π
∵ tanA＝2，0＜A＜，(7分)
2
255
∴ sinA＝，cosA＝.(9分)
55
∴ sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB 25252310＝2＋2＝.(11分)
525210
cbc
由正弦定理知：＝?b＝2sinB＝5，(13分)
sinCsinBsinC
1125S＝bcsinA＝35333＝3.(14分)
225
17. 解：(1) ∵ f(－x)＝a(－x)3－b(－x) ＝－(ax3－bx)＝－f(x)，(2分) ∴ f(x)为奇函数．(3分)
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，且x1≠x2， 又f′(x)＝3ax2－b，(5分)
∵ f(x)在两个相异点A、B处的切线分别为l1、l2，且l1∥l2，
2
∴ k1＝f′(x1)＝3ax21－b＝k2＝f′(x2)＝3ax2－b(a＞0)，
2
∴ x21＝x2.
又x1≠x2，∴ x1＝－x2.(6分) 又f(x)为奇函数， ＝?