16.（09·全国卷Ⅱ·26） (21分)如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为?；石油密度远小于?，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向（即
PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。
（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常
（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在?与k?（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。
G?Vd答案：（1）2；（2）d?23/2(d?x)解析：本题考查万有引力部分的知识.
Lk2/3L2k?,V? 2/3G?(k?1)?1（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为?的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力GMm?m?g???①来计算,式中的m是Q点处某质点r2的质量,M是填充后球形区域的质量,M??V?????② 而r是球形空腔中心O至Q点的距离r?d2?x2???③
?g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小.Q点处重力加速度改变的方
向沿OQ方向,重力加速度反常?g?是这一改变在竖直方向上的投影?g??联立以上式子得
d?g???④ r?g??G?Vd,????⑤
(d2?x2)3/2G?V??⑥ d2（2）由⑤式得,重力加速度反常?g?的最大值和最小值分别为??g??max???g??min?G?Vd?????⑦
(d2?L2)3/2
由提设有??g??max?k?、??g??min????⑧
联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为
d?Lk2/3L2k?,V? 2/3G?(k?1)?117.（09·北京·22）（16分）已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响。 （1）推导第一宇宙速度v1的表达式；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T。 解析：（1）设卫星的质量为m,地球的质量为M, 在地球表面附近满足
GMm?mg R2得 GM?R2g ①
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力
2v1Mm m?G2 ②
RR①式代入②式，得到v1?Rg （2）考虑式，卫星受到的万有引力为
MmmgR2? F?G ③
(R?h)2(R?h)24?2由牛顿第二定律F?m2(R?h) ④
T2?③、④联立解得T?R(R?h)2 g18.（09·天津·12）（20分）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50?102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。
（1）若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50?102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量Ms的多少倍(结果保留一位有效数字)；
（2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞
对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为Ep=-G
Mm(设粒子在离黑洞R-11
无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.7?10N·m2/kg2，光速c=3.0?10m/s，太阳质量Ms=2.0?1030kg，太阳半径Rs=7.0?108m，不考虑相对论效应，利用上问结
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果，在经典力学范围内求人马座A*的半径RA与太阳半径Rg之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。 答案：（1）4?10，（2）?17
解析：本题考查天体运动的知识。其中第2小题为信息题，如“黑洞”“引力势能”等陌生的知识都在题目中给出，考查学生提取信息，处理信息的能力，体现了能力立意。
（1）S2星绕人马座A做圆周运动的向心力由人马座A对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2，角速度为ω，周期为T，则
*
*
6MAmS22?m?r ① S22r2? ?? ②
T G设地球质量为mE，公转轨道半径为rE，周期为TE，则 G综合上述三式得
MSmE?mE?2rE ③ 2rEMA?r??TE??????T? MS?r?E???
式中 TE=1年 ④
32 rE=1天文单位 ⑤
代入数据可得
MA?4?106 ⑥ MS（2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时料子的势能为零。“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则有 依题意可知
12Mmmc?G?0 ⑦ 2R
R?RA，M?MA 可得
RA?代入数据得
2GMA ⑧ 2cRA?1.2?1010m ⑨ RA?17 ⑩ RS2008年高考题
一、选择题
1.(08全国Ⅰ17)已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390,月球绕地球旋转的周期约为27天,利用上述数据以及日常的天文知识,可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为 ( ) A.0.2 答案 B
解析 估算太阳对月球的万有引力时,地、月间距忽略不计,认为月球处于地球公转的轨道上.设太
阳、地球、月球的质量分别为M、m地、m月,日、地间距为r1,地、月间距为r2,地球、月球做匀速圆周运动的周期分别为T1、T2,根据万有引力定律、牛顿第二定律得: 对于月球:F地月=m月r2?2,其中?2?2 B.2 C.20 D.200
2π ① T2对于地球:
GMm地2π2 ② ?mr?,其中??1地112T1r1GM4π2由②式得2?r12
r1T1所以F日月=
GMm月r124π2?m月r12 ③
T1r1T22272由①、③两式得:F日月: F地月=?390?()?2.1
r2T123652.(08北京理综17)据媒体报道,“嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200 km,运行周期127分钟.若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是 （ ） A.月球表面的重力加速度
?B.月球对卫星的吸引力?
C.卫星绕月运行的速度? 答案 ?B
?D.卫星绕月运行的加速度?
解析 设月球质量为M,平均半径为R,月球表面的重力加速度为g,卫星的质量为m,周期为T,离月球表面的高度为h,月球对卫星的吸引力完全提供向心力,由万有引力定律知
Mm4π2(R?h) G??m?(R?h)2T2GMm?mg 2R
①
②
4π2(R?h)3由①②可得g?,故选项A不正确;因卫星的质量未知,故不能求出月球对卫星的吸引力,故选22TR2π(R?h)v2项B正确;卫星绕月运行的速度v?,故选项C错误;卫星绕月运行的加速度a?,故选项D
TR?h错误.
3.(08四川理综20)1990年4月25日,科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600 km的高空,使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展.假设哈勃天文望远镜沿圆轨道绕地球运行.已知地球半径为6.4×10m,利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×10m这一事实可得到哈勃天文望远镜绕地球运行的周期.以下数据中最接近其运行周期的是 ( ) A. 0.6小时 ? 答案 B?
B.1.6小时?
C.4.0小时?
D.24小时
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GMm4π2GM4π2?m2?r,得3?2. 解析 由万有引力公式r2TrT332r哈r同T同?T同,代入相关数据,可估算出T哈与1.6小时较接近. 所以3?2,得T哈?3r哈T哈r同4.(08山东理综18)据报道,我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空,经过4次变轨控制后,于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道.关于成功定点后的“天链一号01星”,下列说法正确的是 ( )? A.运行速度大于7.9 km/s B.离地面高度一定,相对地面静止
C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等