联立①②得
(R?h)3TB=2π 2gR
③ ④ ⑤
（2）由题意得(ωB-ω0)t =2π
gR2由③得ωB=
(R?h)3代入④得t =
2πgR??03(R?h)2
14.(06四川理综23)荡秋千是大家喜爱的一项体育活动.随着科技的迅速发展,将来的某一天,同学们也许
会在其他星球上享受荡秋千的乐趣.假设你当时所在星球的质量是M、半径为R,可将人视为质点,秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°,万有引力常量为G.那么, （1）该星球表面附近的重力加速度g星等于多少？
（2）若经过最低位置的速度为v0,你能上升的最大高度是多少？?
GM答案 (1)2
R2R2v0(2)
2GM解析 （1）设人的质量为m,在星球表面附近的重力等于万有引力,有
GMm R2GM解得g星=2?
Rmg星=
（2）设人能上升的最大高度为h,由功能关系得 mg星h=
12mv0 22R2v0解得h=
2GM15.(06广东17)宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量均为m. (1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期.?
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少??
5GmRR3答案 (1) 4π
2R5Gm12(2)()3R
51解析 (1)对于第一种运动情况,以某个运动星体为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律有:?
Gm2F1=2RF1+F2=mv/R
2
Gm2 F2?(2R)2运动星体的线速度:v =
5GmR 2R周期为T,则有T=
2πR vR3T=4π
5Gm(2)设第二种形式星体之间的距离为r,则三个星体做圆周运动的半径为? R′=
r/2
cos30?由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供,由力的合成和牛顿运动定律有：
Gm2F合=22cos30°?
r4π2F合=m2R′?
T12所以r=()3R
5?题组二
一、选择题
1.(06北京理综18)一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行,认为行星是密度均匀的球体,要确定该行星的密度,只需要测量 A.飞船的轨道半径 C.飞船的运行周期 答案 C
（ ）
1B.飞船的运行速度? D.行星的质量?
解析
GMm4π2r?m2,? 万有引力提供向心力,则2rT43πr, 3由于飞船在行星表面附近飞行,其运行轨道半径r近似为行星的半径,所以满足M=??联立得??3π.? GT22.(06重庆理综15)宇航员在月球上做自由落体实验,将某物体由距月球表面高h处释放,经时间t后落到月球表面（设月球半径为R）.据上述信息推断,飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为 （ ） A.
2Rh t B.
2Rh t C.
Rh t D.
Rh 2t答案 B
解析 设月球表面的重力加速度为g月,绕月球表面做匀速圆周运动的线速度为v,根据万有引力定律：
GMm?mg月 R2 ①
GMmv2?m 绕月卫星：
R2R ②
根据月球表面物体做自由落体运动： h =
1g月t2 2 ③
由①②③得：v =
2Rh2Rh ?2tt3.(06全国卷Ⅰ16)我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”.设该卫星的轨道是圆形的,且贴近月球表面.已知月球的质量约为地球质量的1/81,月球的半径约为地球半径的1/4,地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s,则该探月卫星绕月运行的速率约为 （ ） A.0.4 km/s ? 答案 B 解析
设地球质量、半径分别为m、R,月球质量、半径分别为m、r,则m=
B.1.8 km/s
C.11 km/s
D.36 km/s?
M1,r?R.在星体表面,814物体的重力近似等于万有引力,若物体质量为m0,则
GMm02
=m0g,即GM=gR；在月球表面,满足：Gm=g′2R
mR216g?r,由此可得：g′=g,地球表面的第一宇宙速度v1=gR=7.9 km/s,在月球表面,有v′Mr2812
=g'r?16122g?R?gR?×7.9 km/s≈1.8 km/s. 814994.(05全国卷Ⅰ16)把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周,由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得( )
A.火星和地球的质量之比
B.火星和太阳的质量之比
D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比
C.火星和地球到太阳的距离之比 答案 CD
解析 设火星和地球质量分别为m1、m2,它们到太阳的距离分别为r1、r2,它们绕太阳的运行速度分别为v1、v2,
由万有引力提供向心力得
GMm4π2rv2?m2?m 2rTrr13T12v1?,?2r2T2v2r2 r1由上式可知C、D正确.
5.(05全国卷Ⅱ18)已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T.仅利用这三个数据,可以估算出的物理量有? ( ) A.月球的质量 C.地球的半径 答案 BD
B.地球的质量
D.月球绕地球运行速度的大小
Mmv24π2R?m2 解析 由万有引力提供向心力G2?mRRT4π2R3得:M?GT2v?GM R6.(05全国卷Ⅲ21)最近,科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星,并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1 200年,它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍.假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周,仅利用以上两个数据可以求出的量有 ( ) A.恒星质量与太阳质量之比
B.恒星密度与太阳密度之比
C.行星质量与地球质量之比 答案 AD
D.行星运行速度与地球公转速度之比
解析 设太阳质量为m1,地球绕太阳运行的轨道半径R1,地球公转速度v1,恒星质量为m2,行星绕恒星
GMmv24π2R?m?m2 运行的轨道半径为R2,行星运行速度v2,则由万有引力提供向心力公式2RRTm1R13T2236 得: ?32?m2R2T125
v1?v2m1R2?12 R1m27.(05江苏5)某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆,由于阻力作用,人造卫星到地心的距离从r1慢慢变到r2,用Ek1、Ek2分别表示卫星在这两个轨道上的动能,则 （ ） ?A.r1 < r2,Ek1 < Ek2 ? C.r1 < r2,Ek1 > Ek2
答案 ? B
B.r1 > r2,Ek1 < Ek2
D.r1 > r2,Ek1 > Ek2
Mmv2解析? 做匀速圆周运动的物体,满足G2?m,由于阻力作用,假定其半径不变,其动能减小,
rrMmv2则G2?m,由上式可知,人造卫星必做向心运动,其轨迹半径必减小,由于人造卫星到地心距离
rr慢慢变 化,其运动仍可看作匀速运动, 由v?GM可知,其运动的动能必慢慢增大. r8.(05天津理综21)土星周围有美丽壮观的“光环”,组成环的颗粒是大小不等、线度从1μm到10 m的岩石、尘埃,类似于卫星,它们与土星中心的距离从7.3×10km延伸到1.4×10km.已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h,引力常量为6.67×10
-11
4
5
N·m/kg,则土星的质量约为（估算时不考
22
虑环中颗粒间的相互作用） ( ) A.9.0×10kg C.9.0×10kg 答案 D
25 16
B.6.4×10kg D.6.4×10 kg
26
17
GMm4π2r?m2 解析 由万有引力作用提供向心力得r2T