知识点一：二次根式的概念
【知识要点】 1.二次根式的定义： 形如才有意义．
2. (a)2?aa(?0)．
的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，
a(a?0)? 3. 公式a2?与(a)2?aa(?0)的区别与联系. |a|???a(a?0)?（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数． （2）(a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数． （3）a2和(a)2的运算结果都是非负的． 精典考题
类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围） 1、下列各式中，不是二次根式的是（ ） A．45 B．3?? C．14 D．
1 22、二次根式
2x?1有意义时的x的取值范围是 。 2x?43、已知： y?x?2??x?2?1，则(x?y)2001= 。
类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简） 4、代数式3?4?x2的最大值是 。
5、实数在数轴上的位置如图1所示，化简a?1?(a?2)2???。 6、把?43的根号外的因式移到根号内得 ；5?26的平方根是 。 7、化简：x?
8、若y=x?5+5?x+2009，则x+y=
（图1）
1? ；(3?7)2?2(7?5)2?(2?7)2? 。 x
9、若x、y都是实数，且y=2x?3?3?2x?4，求xy的值。
10、当a取什么值时，代数式2a?1?1取值最小，并求出这个最小值。
11、若x?y?y2?4y?4?0，求xy的值。
12、若│1995-a│+a?2000=a，求a-1995的值．
2
213、 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+(x?3)+x2?10x?25。
已知a是5整数部分，b是 5的小数部分，求a?1的值。 b?2
若3的整数部分是a，小数部分是b，则3a?b? 。 若17的整数部分为x，小数部分为y，求
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性：a(a?0)是一个非负数．
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. (a)2?aa(?0)．
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a?(a)2(a?0)
x2?1y的值.
a(a?0)? 3. a2? |a|???a(a?0)? 注意：（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
a(a?0)? 4. 公式a2?与(a|a|??)2?aa(?0)的区别与联系
?a(a?0)? （1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数． （2）(a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数． （3）a2和(a)2的运算结果都是非负的．
【典型例题】
a?2?b?3??c?4??0，a?b?c?【例4】若则 ．
举一反三：
1、若m?3?(n?1)2?0，则m?n的值为 。
2、已知x,y为实数，且x?1?3?y?2??0，则x?y的值为（ ）
22
A．3 B．– 3 C．1
2
D．– 1
3、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x－4｜＋＿＿＿＿＿＿.
4、若
y2?5y?6＝0，则第三边长为
2005a?b?1与a?2b?4互为相反数，则?a?b??_____________。
（公式(a)2?a(a?0)的运用）
【例5】 化简：a?1?(a?3)的结果为（ ）
A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4 举一反三：
1、 在实数范围内分解因式:
2x2?3= ；m4?4m2?4= x4?9?__________,x2?22x?2?__________
2、 化简：3?31?3
3、 已知直角三角形的两直角边分别为2和5，则斜边长为
?a(a?0) （公式a2?a??的应用）
?a(a?0)???【例6】已知x?2,则化简x2?4x?4的结果是
A、x?2 B、x?2
举一反三：
C、?x?2
D、2?x
21、根式(?3)的值是( )
A．-3 B．3或-3 C．3 D．9
2a2、已知a<0，那么│－2a│可化简为（ ）
A．－a B．a C．－3a D．3a
3、若2?a?3，则?2?a?2??a?3?2等于（ ）
A. 5?2a B. 1?2a C. 2a?5 D. 2a?1 4、若a－3＜0，则化简
a2?6a?9?4?a的结果是（ ）
(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－2a
5、化简4x?4x?1?2?2x?3得（ ）
?2（A） 2 （B）?4x?4 （C）－2 （D）4x?4
a2?2a?1a2?a6、当a＜l且a≠0时，化简＝ ．
114?(a?)2?4?(a?)2aa 7、已知a?0，化简求值：
【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│
2+(a?b) 的结果等于（ ）
A．－2b B．2b C．－2a D．2a
ba2o举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简：a?1?(a?2)?______．
【例8】化简1?x?a ?1 2 0 1x2?8x?16的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）
（A）x为任意实数 （B）1≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1
22举一反三：若代数式(2?a)?(a?4)的值是常数2，则a的取值范围是（ ）
Ａ．a≥4
Ｂ．a≤2 Ｃ．2≤a≤4 Ｄ．a?2或a?4
【例9】如果a?a2?2a?1?1，那么a的取值范围是（ ）
A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1 举一反三：
1、如果a?a2?6a?9?3成立，那么实数a的取值范围是（ ）
A.a?0B.a?3;C.a??3;D.a?3
22、若(x?3)?x?3?0，则x的取值范围是（ ）
（A）x?3 （B）x?3 （C）x?3 （D）x?3 【例10】化简二次根式a?a?2的结果是 2a