2(x2?y2)6.设有一高为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程z?h(t)?(设长度为厘米，h(t)时间为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比，（比例系数0.9）,问高为130厘米的雪堆全部融化需要多少时间？
解：设V为雪堆的体积，S为雪堆的侧面积，则h(t)h(t)1x?y?[h2(t)?h(t)z]222V??dz0??dxdy??0?2[h2(t)?h(t)z]dz??4h3(t).?dV3?2dh?h(t)dt4dt
S?2h2(t)x?y?22??1?2zx?z2ydxdy?2h2(t)x?y?22??1?16(x2?y2)h(t)2dxdy
1?h(t)?02?d??h(t)2[h2(t)01?16r2]2?rdr?13?2h(t).12
dVdV3?2dh3?2dh13?2由题义，??0.9S,??h(t)，?h(t)??0.9h(t)dtdt4dt4dt12 dh131313???，?h(t)??t?C,?h(0)?0,?h(t)??t?130,dt101010
令h?0,得t?100小时。
?7.设n是曲面2x2?3y2?z2?6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,计算函数u?6x2?8y2?在点P处沿方向n的方向导数和在点P处的梯度.z
??,Fy?,Fz?,}?{4x,6y,2z}?2{2x,3y,z}|P?{2,3,1},解:n?{Fxcos???u?x?u?z?22?3?1?P22?214?P,cos??614314?u?y,cos??1z1148y,814112xz26x2?8y26x2?8y2z614p??2P,?P6x?8y22P?,??P??14,8?3?14?114?11.7
?u??l2gradu1414146?8??i?j?k.1414?三、证明题（本题8分）：
设函数?(y)有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，?(y)dx?2xydy曲线积分?的值恒为同一常数，24L2x?y(I)证明：对右半平面x?0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有?解 （I）
?(y)dx?2xydy2x?y24C?0；Y (II)求函数?(y)的表达式. l1 l2 C
o X l3 如图，将C分解为：C?l1?l2，另作一条曲线l3围绕原点且与C相接，则
??(y)dx?2xydy2x2?y4C???(y)dx?2xydy2x2?y4l1?l3???(y)dx?2xydy2x2?y4l2?l3?0.
P?（II） 设由（Ⅰ）知，
?(y)2x2?y,Q?42xy2x2?y4，P,Q在单连通区域x?0内具有一阶连续偏导数，
曲线积分
??(y)dx?2xydy2x2?y4L?Q?P??y. 在该区域内与路径无关，故当x?0时，总有?x?Q2y(2x2?y4)?4x?2xy?4x2y?2y5??,242242?x(2x?y)(2x?y) ① ?P??(y)(2x2?y4)?4?(y)y32x2??(y)???(y)y4?4?(y)y3??.242242?y(2x?y)(2x?y) ②
比较①、②两式的右端，得
???(y)??2y,?435 ???(y)y?4?(y)y?2y.
2③ ④
535由③得?(y)??y?c，将?(y)代入④得 2y?4cy?2y, 所以c?0，从而?(y)??y.
2中国石油大学（华东）
第二十一届高等数学竞赛试卷参考答案 一、填空题（每小题5分，本题共50分）：
?1. 若x?0时，解题过程是：
?ln1?x1?x与x?是等价无穷小，则a?.
若x?0时，
ln1?x1?x与x?是等价无穷小，
ln1?x1?x?ln(1?x)?ln1?x?x?o(x)?x?o(x)?x?o(x)，
???则x?0，x?o(x)~x,故
???12.
arctaxn?sinxlim?3x2. x?0解题过程是：
.
x3x33[x??o(x)]?[x??o(x3)]arctanx?sinx136lim?lim??6. x?0x?0x3x3y?1?ln(1?ex)x，渐近线的条数为： 3 ..
3. 曲线
解题过程是：
曲线
y?1?ln(1?ex)x渐近线有3条：垂直渐近线x?0，水平渐近线y?0(x???)，
斜渐近线y?x(x???).
?y?设z?xyf??,函数f(u)可导,则xz?x?yz?y?x??4.
.
?zy??y?y?y2?y????y???解:?yf???xyf??????yf?f????,??2?xxxxx?????x????x??z?y??y?1?y??y??xf???xyf????xf???yf???,?y?x??x?x?x??x?y?y???xz??yz?2xyf?0?2xytan?0?2z.??xyx?x?5.
微
分
方
程
yy???y?2?0满足初始条件yx?0?1,1y?x?0?的特解是:2
. 解题过程是：
dPdP,代入yP?P2?0,dydydPdPdydPdyP?0时，y??P，???,?????,lnP??lny?lnC1，dyPyPy1dy1111?P?,??,?y?x?0?,??,?C1?2.C1ydxC1y22C1解：y???f(y,y?)型，令P?y?,y???P?dy1?,?2ydy?dx,?y2?x?C2,dx2y
?yx?0?1,?1?C2,通解:y2?x?1,或y?x?1. 6.
若平面区域D为:0?x? . 解题过程是：
?2,0?y??2，则二重积分??cos(x?y)dxdy的值为：D解：用直线x?y?I??2把区域D分为D1、D2两个区域.D2D1??cos(x?y)dxdy???cos(x?y)dxdy?0?x?0?0???2dx?2?0cos(x?y)dy??2dx??22cos(x?y)dy?x?0??2(1?sinx)dx??2(cosx?1)dx???2.
?
7.
?0(3cosx?3?cosx)dx?.
解题过程是：
解：令
x??2?t，
3sint?3?sint是奇函数，得
?0?(3cosx?3?cosx)dx=
?? 8.
??2(3sint?3?sint)(?dt)??22(3sint?3?sint)dt?0.??2
x2? 设函数
f(x)的一个原函数是
2，则
?xf?(x)dx= . 解题过程是：
?xf?(x)dx9.
22xdf(x)?xf(x)?f(x)?2xx?2x2ln2?2?C. =?设空间区域?由z?解题过程是：
x2?y2与z?1?x2?y2所围成,计算???(x?z)dV?=
??关于yoz面为对称，f(x,y,z)?x为x的奇函数，有2????xdv?0.利用球面坐标系?????(x?z)dv????zdv????0d??4d??rcos??r2sin?dr?00?1?8.
22为x?y??ax的下半圆周自A(-a,0)到O(0,0)一段.(a?0)， AnO10. 设曲线
.计算??exsiny?3y?dx??excosy?3?dy?AnO . ????Q?P?xx? ?????dxdy?ecosy?ecosy?3dxdy?3??dxdy????x?y?OA?D?DD2解题过程是：
解：补上线段OA，组成闭曲线,?AnOA ??AnO??1?a?3?a2?3??????,2?2?8a3?a23?a2x?? ?? ?? ???e?0?dx?e?3?0?AnOAnOAOA088.
??
二、计算题（每小题6分，本题共42分）：