22y?z?f(x) y?f(x)x证明：曲线弧绕轴旋转一周所形成的旋转曲面为
设y?rcos?,z?rsin?,曲面的柱坐标方程为r?f(x).
Ix????(y2?z2)dxdydz??dx??r2?rdrd???dx?d???aDXa0bb2?f(x)0r3dr
14?2??f(x)dx??42 =ab?baf4(x)dx.
一、填空题（每小题4分，本题共20分）：
n1、n??lime?e?e1n2nn?1n本页满分40分 ?e?2 。
?uyu?xy?2x，则?y= 。 2、设
本 页得分 3、设L为沿抛物线y=x2上从点(1，1)到点(2，4)的一段曲线弧，则对坐标的曲线积分
可化成对弧长的曲线积分
_____ ______，其中P(x,y)和Q(x,y)是在L上的连续函数。
?2z?2z?22x?x?y= 。 4、设z?esiny?ecosy，则?x15、x?0lim(cosx)x?2 。
二、选择题（每小题4分，本题共20分）：
ex?1设I??xdx,则I?e?11、( )
(A) ln(ex?1)?c (B) lne(x?1)?c;
(C) 2ln(ex?1)?x?c;(D) x?2ln(ex?1)?c
设 lim2、
x?af(x)?f(a)??1,则点x?a(x?a)2 ( )
(A) 是f(x)的极大值点 (B)是f(x)的极小值点(C) 是f(x)的驻点,但不是极值点, (D)不是f(x)的驻点
x03、方程0?1?tdt?(B)
2cosx?e?t2dt?0的根的个数 ( )
(D) 3
(A)0
4、若曲线x?ecost,y?esint,z?e在对应于值是( )
tttt??4点处的切线与zx平面交角的正弦
(A)
23
(B)
13
(C) 0 (D) 1
2L5、设C表示椭圆
(x?y，其方向为逆时针方向，则曲线积分?)dx?( )
(A) πab (B) 0
(C) a+b2 (D) －πab2
三、计算下列各题（每小题7分，本题共42分）：
1、设f(x)二阶连续可微，且f(0)?1,f?(0)?0，试确定f(x)，使
本页满分14分 本 页得分 (f??曲线积分
L2?f)ydx?f?f?dy与路径无关。
(a?0)，又设x?rcos?，f(x)?rsin?．2、设函数f(x)在?a，b?上有连续导数
2?f(x)dx??r(?)d? 的值 ,其中??arctanab?2计算表达式
?f(a)f(b)，??arctan．ab
x?t12本页满分14分 本 页得分 3、设
f(x)??edt1，计算积分0?f(x)dx
4、设f(x)连续，且满足
f(a?ba?bf(x)dx??x)??f(?x)22，计算积分a
b本页满分14分 5、 计算二重积分
I???D1(x?y)223dxdy，其中D是由直线
y?x,x?2及上半圆周
本 页得分 y?2x?x2所围成的区域.
cosexxx[?esine?Lx 6、 计算coexslxyn(dx)?]dy22y，其中L是圆周(x?2)?(y?2)?2沿正向从点A(1,1)到点B(3,3)的一段圆弧.
四．证明题：（每小题6分，本题共18分）：
本页满分12分 本 1页f(0)?0,f(x)dx?001、设f(x)在[0，1]上连续，且。证明在（0，得?分 f(x)dx???f(?)1）内至少存在一点?，使得0。
??012、设f(x)连续，且?1点。
?xf(x)dx?0,?xf(x)dx?00，证明：f(x)在(?1,1)内至少有一个零
本页满分6分 本 页得分 3、 证明:由x?a,x?b,y?f(x)及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一
周所形成的立体对x轴的转动惯量 (密度?=1) 为 其中f(x)是连续的正值函数.
中国石油大学（华东）
第二十四届高等数学竞赛试题答案
一、填空题（每小题4分，本题共20分）：
Ix??2?abf4(x)dx.1、n??lime?e?en1n2nn?1n?e?
e 。
?uyu?xy?2x，则?y= 0 。 2.设
3.设L为沿抛物线y=x2上从点(1，1)到点(2，4)的一段曲线弧，则对坐标的曲线积分
可化成对弧长的曲线积分___________，其中P(x,y)和Q(x,y)
2是在L上的连续函数。
?Lp(x,y)?2xQ(x,y)1?4x2ds
?2z?2z?22x?x?x?y= 0 。 z?esiny?ecosy4.设，则
15、
lim(cosx)x?0x2?e?12。
二、选择题（每小题4分，本题共20分）：
ex?1设I??xdx,则I?e?11、( C )
(A) ln(ex?1)?c (B) lne(x?1)?c; (C) 2ln(ex?1)?x?c; (D) x?2lne(x?1)?c
设 lim2、
x?af(x)?f(a)??1,则点x?a(x?a)2(A)
(A) 是f(x)的极大值点 (B)是f(x)的极小值点(C) 是f(x)的驻点,但不是极值点, (D)不是f(x)的驻点x0
3、方程0?1?tdt?2cosx?te?dt?02的根的个数(B)
t (A)0 (B) 1 (C)2
tt (D) 3
4、若曲线x?ecost,y?esint,z?e在对应于值是(A)
t??4点处的切线与zx平面交角的正弦
(A)
23
(B)
13
(C) 0 (D) 1
5、设C表示椭圆，其方向为逆时针方向，则曲线积分
(B)
(A) πab (B) 0
(C) a+b2 (D) －πab2
三、计算下列各题（每小题7分，本题共42分）：
1、设f(x)二阶连续可微，且f(0)?1,f?(0)?0，试确定f(x)，使曲线积分
?
L(f?2?f)ydx?f?f?dy与路径无关。
解 由曲线积分与路径无关的条件得
f?2?f?f?2?f?f??
f??(x)?1
即
积分两次得