f(x)?12x?C1x?C22
代入条件f(0)?1,f?(0)?0，得C1?0,C2?1
故所求函数为：
f(x)?12x?12
(a?0)，又设x?rcos?，f(x)?rsin?．2、设函数f(x)在?a，b?上有连续导数
2?f(x)dx??r2(?)d? 的值 ,其中??arctanab?计算表达式
?f(a)f(b)，??arctan．ab
因为r2?x2?f2(x)，??arctan解
?bf(x)xf?(x)?f(x)，d??2dx2xx?f(x)
于是 ?r2(?)d????xf?(x)?f(x)?dx?a??xf?(x)dx??f(x)dxaababb
ba?xf(x)ba??f(x)dx??f(x)dx?bf(b)?af(a)?2?f(x)dxabb
所以 2?f(x)dx??r(?)d??bf(b)?af(a)a?2?x123、设
1f(x)??e?tdt1，计算积分0?f(x)dx
解
?021f(x)dx?xf(x)??xe?xdx?(e?1?1)002
114、设f(x)连续，且满足
bf(a?ba?bf(x)dx??x)??f(?x)22，计算积分a
b解 在ab?f(x)dx中令
x?a?b?t2，有
0b?a2?af(x)dx??b?a2?a?bf(?t)dt?2?b?a2?f(a?b?t)dt?2b?a2?0f(a?b?t)dt2
0b?a?在2?f(a?b?t)dt2中令t??u，则
b?a20b?a?2b?f(a?b?t)dt?2?0f(a?b?u)du??2b?a2?0f(a?b?u)du2
从而a?f(x)dx?0
5、 计算二重积分
I???D1(x?y)223dxdy，其中D是由直线y?x,x?2及上半圆周
y?2x?x2所围成的区域.
2?2cos??????cos???0?????4如图所示，可表示为?，则
解 积分域D
?40I??d??2cos?2cos?1?0??d????4?cos??3?1?21??d?2cos??
?1124??[sin??ln|sec??tan?|]0??[?ln（2?1）]222.
cosexxx[?esine?Lx 6、 计算coexslxyn(dx)?]dy22y，其中L是圆周(x?2)?(y?2)?2沿正向从点A(1,1)到点B(3,3)的一段圆弧.
?Pexsinex?Q????yy?x，积分与路径无关，选折线段AEB为积分路径. 解
cosexcosexxx?L[x?esineln(xy)]dx?ydy
cosexcosexcosexcosexxxxx??[?esineln(xy)]dx?dy??[?esineln(xy)]dx?dyAEEBxyxy
33cosecosexxx??(?esine?lnx)dx??dy11xy?2ln3?cose3. 3四．证明题：（每小题6分，本题共18分）： 1、设f(x)在[0，1]上连续，且
?f(0)?0,?f(x)dx?001。证明在（0，1）内至少存在一点
?，使得?0f(x)dx???f(?)。
证明：设：F（x）=x0,x?[0,1](2分)
F（x）在[0，1]连续，（0，1）可导，且F（0）＝F（1）＝0 由罗尔定理：F?(?)?0 即：
?xf(t)dt??0f(t)dt???f(?)
102、设f(x)连续，且?1点。
?xf(x)dx?0,?xf(x)dx?000，证明：f(x)在(?1,1)内至少有一个零
证明：由积分中値定理，存在?10xf(x)dx????[?1,0]使得
?11f(?1)?0
xf(x)dx?0?因，所以??11?0，于是存在?1?[?1,0)使得f(?1)?0，同理
存在?2?(0,1]使得f(?2)?0，由零点定理存在??(?1,?2)，使得f(?)?0
3、证明:由x?a,x?b,y?f(x)及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所形成的立体对x轴的转动惯量(密度?=1)为.
Ix??2?baf4(x)dx.其中f(x)是连续的正值函数.
22y?z?f(x)，则 证明：曲线弧y=f(x)绕x轴旋转一周所形成的旋转曲面为
Ix????(y2?z2)dxdydz? 其中 ?:a?x?b,(y,z)?Dx?{y?z?f(x)}.
222??dx??(y2?z2)dydzaDxb （用“先二后一法”）
??dx?ab2?0d??bf(x)0r3drs,z?rsin?,则Dx:0???2?,0?r?f(x).） （令y?rco?
=
?a2??14?f(x)dx?42?baf4(x)dx.
一、填空题（每小题4分，本题共20分）：
dx22tf(x?t)dt?_______________?0f(x)1、设连续，则dx。
____________。 2、已知z?e，则dz?__________3、函数u?xy?yz?zx在点P?(1,2,3)处沿向量OP的方向导数是
yx本页满分28分 本 页得分 _____，函数u 在点P处的方向导数取最大值的方向是_____，该点处
方向导数的最大值是_____。
?a(1?cosx),x?0?x2???x?0f(x)??8,?x?tbsinx???0edt,x?0??x4、设函数连续，则a? ，b? 。
5、极限
lim(1?3x)x?02sinx?。
二、选择题（每小题4分，本题共20分）：
1、设f(x)是可导函数，则下列各式不成立的是（ ）
(A)limx?0f(x)?f(0)?f?(0)x； f(a?2h)?f(a)?f?(a)h； f(x0)?f(x0??x)?f?(x0)?x； f(x0??x)?f(x0??x)?f?(x0)2?x。
、
设
?(B)limh?0(C)lim?x?0(D)lim2
??x?0sinx42(sin3x?cos4x)dx,P?2(x2sin3x?cos4x)dx,M??2?cosxdx,N??????1?x2??222则
()
?(A).N?P?M;(C).N?M?P;
(B).M?P?N;(D).P?M?N.
本页满分19分 本 页得分 ??（0，0）3、设函数f(x,y)在附近有定义，且fx(0,0)?3,fy(0,0)?1，
则（ ） (A)
dz(0,0)?3dx?dy;.
1，1}；（B）曲面z?f(x,y)在点(0,0,f(0,0))的法向量为{3，
?z?f(x,y)?，0，3}； (C) 曲线?y?0在点(0,0,f(0,0))的切向量为{1 ?z?f(x,y)?0，1}。 (D) 曲线?y?0在点(0,0,f(0,0))的切向量为{3，lim4、已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且y?0（A）点(0,0)不是f(x,y)的极值点； (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点；
x?0f(x,y)?xy?1222(x?y)，则（ ）