解题过程是：
x2?ax?b（1）lim?5及lim(1?x)?0,?lim(x2?ax?b)?1?a?b?0,,?b??a?11?xx?1x?1x?1 x2?ax?bx2?ax?a?1(x?1?a)(x?1)5?lim?lim,??lim??a?2,?a??7.1?x1?xx?1x?1x?1x?1
?1?a?0x2?1(1?a)x2?(a?b)x?1?b（2）lim(?ax?b)?lim?0,??.?a?1,b??1.x?1x??x?1x????(a?b)?0
1?tanxx3lim().?x2. x?01?sin解题过程是：
13?1)]x1 .
1tanx?sinxx3]1?tanx原式?lim[1?(1?sinxx?0?lim?lim[1?x?01?sinx,.
tanx?sinx1sinx(1?cosx)1sinx1?cosx11??lim??lim???,(1?sinx)cosx2x?01?sinxx3x?0(1?sinx)cosxx3x?0xx21e2.?原式?
3. 设函数
f(x)??x20ln(2?t)dt，则f?(x)的零点个数为： 1
个 . 4.
设函数z?z(x,y)由方程z?e2x?3z?2y所确定,.
则3?z?z???x?y解:F(x,y,z)?e2x?3z?2y?z?z2e2x?3z?,2x?3z?x1?3e?z2?,2x?3z?y1?3e33?z?z??2.?x?y
dyy1?y?微分方程????满足yx?1?1的特解为：dxx2?x?5.
解题过程是：
.
解：令u?duydydudu1du1,y?xu,?u?x,?u?x?u??u?3,?x??u3xdxdxdx2dx221dxdu1dx11?y????,?????,????lnx?C,????lnx?C,2x2x2?x?u3u32u2x由yx?1?1，得C＝1，特解为：y?.1?lnx
36.曲线y?5?3x?x的拐点为： . 解：f?(x)?3?.
13x32,f??(x)?29xx32,f??(x)?0;但当x?0时，f??(x)不存在.，拐点为(0,5)7.设曲线积分?[f(x)?ex]sinydx?f(x)cosydy与路径无关，L其中f(x)一阶导数连续，且f(0)?0，则f(x)?.解题过程是：
?P?Q解：由曲线积分与路径无关的充要条件?,[f(x)?ex]cosy?f?(x)cosy,?y?x[f(x)?ex]?f?(x),f?(x)?f(x)??ex,y??y??ex,一阶线性微分方程.??dx?dxy?e?[??exe?dx?C?ex[??dx?C]??xex?Cex,由f(0)?0，?y??xex，f(x)??xex.设曲面?:x2?y2?z2?R2，??(x?y?z)2dS的值为：?
8. . 解题过程是：
I???(x2?y2?z2?2xy?2xz?2yz)dS???(x2?y2?z2)dS?2??(xy?xz?yz)dS??? ???R2dS?4?R4?. 9.
设Ω是由曲面 z? . 解题过程是：
22x2?y2 与 z?1,z?2所围成的区域.，???(x?y)dxdydz的值为：Ω
解: 先二后一法，2222?zI????（x2?y2)dxdydz??dz??x2?y2dxdy??dz??r2rdrd???dz?d??r3dr?1??Dz1Dz100?r4?z124?z5?2?251?312?24111???dz?d?????zdz?d??2???zdz?2?????2??????.?4?041?5?1?55?100144410??????
10.
22?y2设?为曲面z?1?x?(0?z?1)的上侧，I＝??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy的值为：42..
?解题过程是：
y2解：补上xoy平面上的曲面块?1,?1为被椭圆x??1所围部分的下侧.4?和?1组成闭曲面围成立体?，应用高斯公式，得2I1＝?＋?1??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy＝???(z?2z?0)dxdydz??3zdz?01y2x??1?z42??dxdyI1＝?＋?1??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy10y22x??1?z4＝???(z?2z?0)dxdydz??3zdz???dxdy??6?z(1?z)dz??.01
I2＝??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy＝?3?1y2x??142??xydxdy?0.I?I1?I2??..
二、计算题（每小题6分，本题共42分）：
1.计算?112x2?xcosx1?1?x2?1dx.
??12.
2x21?1?x102dx??1xcosx1?1?x102?1dx?4?1x21?1?x01x2(1?1?x2)dx?4dx2021?(1?x)??4?(1?1?x2)dx?4?4?1?x2dx?4??.
.
22.区域D是由x2?y2?4和(x?1)2?y2?1所围成的，(x?y?y)d?，.的值为：??D . 解题过程是：
解：把区域D分为D1、D2两个区域.令D1?{(x,y)|x2?y2?4},D2?{(x,y)|(x?1)2?y2?1}由对称性，??yd??0D??Dx2?y2d??2?0D1???x2?y2d??D2??x2?y2d???d??3?22?2cos?216?3216rdr??2d?rdr???(3??2)，003992?16故??(x2?y2?y)d??(3??2)9D
2.
22?x2y2?abxy???在点P?求函数z?1???,??1在此点的内法线方向的方向导数.?处,沿曲线22?a2b2?22??ab??
解题过程是：
2x?2y?2?2?解：gradzp?(?i?j)??i?j,22ababp?z?z2222??gradz?(?)?(?)??np?lpab2a2?b2.ab
4.设函数f(x)在（??,??）内具有一阶连续的偏导数,L是上半平面（y?0）内的分段光滑曲线，其起点为（1,4）,终点为（4,1）.求曲线积分I?1x22[1?yf(xy)]dx?[yf(xy)?1]dy的值.?y2yL
解题过程是：
?P?11?Q?[?yf(xy)]???f(xy)?xyf?(xy)?,所以曲线积分与路径无关，2?y?yy?xy
1x14I??[1?y2f(xy)]dx?[y2f(xy)?1]dy??[1?42f(4x)]dx??[y2f(4y)?1]dy22y4yyL144?1444115???4f(4x)dx??4f(4y)dy????＝。414144144141
5.
??x2?y2?2z2?0,已知曲线C：求曲线C上距离xOy面的最远的点.和最近的点.。???x?y?3z?5,
解题过程是：
解：
2222L(x,y,z,?,?)?z??(x?y?2z)??(x?y?3z?5) 构造拉格朗日函数：
??L?x?2?x???0 ??y?2?y???0??L?????L?z?2z?4?z?3??0??222x?y?2z?0 ????x?y?3z?5?0 ???x?y ?2x2?2z2?0?2x?3z?5?0
条件极值驻点为：(1,1,1)，(?5,?5,5)，最远点为(?5,?5,5)，最近点为(1,1,1) 6.设S是以L为边界的光滑曲面，试求可微函数?(x)使曲面积分
??(1?xS2) ?(x) dydz?4xy ?(x) dzdx?4xz dxdy
与曲面S的形状无关.
?[解]以L为边界任作两个光滑曲面S1,S2，它们的法向量指向同一侧，
?????S1S2，记S*为S1与S2所围成的闭曲面，取外侧，所围立体为?，则
????????S*S1?S2?0，由高斯公式得
????(?P?Q?R??)dV?0?x?y?z，由?的任意性得
?P?Q?R???0??2x?(x)?(1?x2)?'(x)?4x?(x)?4x?0, 即(1?x2)?'(x)?2x?(x)?4x?0解线?x?y?z2性非齐次方程得?(x)??cx?c?2.
2227. 设一球面的方程为x?y?(z?1)?4，从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线，
垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S，求此封闭曲面S所围成的立体?的体积.
[解]设点Q为(x0,y0,z0)，则球面的切平面方程为x0(x?x0)?y0(y?y0)?(z0?1)(z?z0)?0垂线
xyz???x0?tx,y0?ty,z0?1?tz222xyz?1000方程为代入x0?y0?(z0?1)?4及切平面方程得
x2?y2?z2?42222222t2，x2?y2?z2?z?t(x2?y2?z2)，即(x?y?z?z)?4(x?y?z)（P点轨
迹）.化为球坐标方程得??2?cos?.