1.在xoy坐标平面上，连续曲线L过点M(1,0),其上点P(x,y)(x?0)的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax,(a?0)(1)求L的方程；8(2)当直线L与y?ax所围平面图形面积为时，确定a的值.3解题过程是：
解：(1)设曲线L的方程为y?f(x),由题设得，yy???ax,x
这是一阶线性微分方程.,由通解公式，
y1??xdx??e????1???dx?xaxedx?C????x(ax?C)?ax2?Cx
2f(1)?0,?C??a,y?ax?ax(x?0). 又故曲线L的方程为：
(2)L与直线y?ax(a?0)围成的平面图形面积
D?
?20?ax?ax2?ax?dx?a2?2x?x2?dx?4a?8???033??故a?2.222. 设曲面Σ是z?1?x?y(z?0)的上侧.，计算曲面积分
I???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy.?
解题过程是：
解：补充xoy平面圆域x2?y2?1的下侧为Σ1，组成闭曲面. I?3323322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?2xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy.?????1???1
???1332222xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?6(x?y?z)dxdydz??????
?6?2?0d??dr?011?r20(z?r)rdz?12??211[r(1?r2)2?r3(1?r2)]dr?2?.02
而
?13322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy????x2?y2?1???3dxdy?3?
故I?2??3????.
3.求椭球面2x2?3y2?z2?9的平行于平面2x?3y?2z?1?0的切平面方程.
解题过程是：
解:设F(x,y,z)?2x2?3y2?z2?9,切点M(x0,y0,z0),
??????,Fy?,Fz?}?{4x,6y,2z},n0?{4x0,6y0,2z0},由题意n0?{2,?3,2},n0∥n,.n?{Fx 4x06y02z0??????,x0?,y0??,z0??,2?3222
222M(x0,y0,z0)在椭球面上2x0?3y0?z0?1,??????2???3?????2?9,解得???2.?2??2?
22切点(1,?1,2),(?1,1,?2),代入得切平面方程.2x?3y?2z?9,及2x?3y?2z??9.
4.设函数f(t)在(0,?)上连续，且对任意的t(t?0)满足下式：f(t)?1????[z2?f(?1x2?y2]dV2
其中?由不等式0?z?h,x2?y2?4t2确定，求f(t).解题过程是：
解：在柱坐标系下，等式可写为2πf(t)?1?0?rdθ?rdr?[z2?f()]dz202t02th
h2r即，f(t)?1?2πh?r[?f()]dr320
h2f?(t)?8?ht[?f(t)],3等式两边对t求导得 分离变量并积分f?(t)?h23dt??8πhtdt
?f(t)得h2ln(?f(t)?)4πh2t?C3
h2由原等式可得f(0)?limf(t)?1,?C?ln(?1),?3t?0 124πht2h2?f(t)?(1?h)e?.33
5.求函数f(x,y)?x2?2y2?x2y2在区域D?(x,y)x2?y2?4,y?0上的最大值和最小值.
解题过程是：
????2x?2xy2,fy??4y?2x2y,求函数f(x,y)?x2?2y2?x2y2fx解：（1）的驻点
???2x?2xy2?0,?fx?222?f?4y?2xy?0?区域D?(x,y)x?y?4,y?0内的驻点为：y?
??(?2,1).
2222. （2）求函数f(x,y)?x?2y?xy在区域D边界上的极值222222L(x,y,?)?x?2y?xy??(x?y?4) 构造拉格朗日函数：
??L2??x?2x?2xy??(2x)?0??L?2??4y?2xy??(2y)?0??y??L?x2?y2?4?0? ???
条件极值驻点为：
(?53,)22
2222.最小值为0。最大值为（3）比较函数f(x,y)?x?2y?xy在这些点的值的大小，8.
6. 设曲面?:x?y?z?1，计算曲面积分?解题过程是：
??(x?y)dS.
解：由曲面?:x?y?z?1的对称性和被积函数对称轮换性，
??xdS?0,??ydS??xdS??zdS??=?=?，
??(x?y)dS?=???ydS=
11(??ydS???xdS???zdS)(x?y?z)dS??33???=
?
11?dS8?34?3??3=?=32=3.
???7.确定常数?使在右半平面x?0上的向量A(x,y)?2xy(x4?y2)?i?x2(x4?y2)?j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y).解题过程是：
解:令P(x,y)?2xy(x4?y2)?,Q(x,y)??x2(x4?y2)???u?u向量A(x,y)为某函数u(x,y)的梯度,则P?,Q?,?x?y ?Q?P由判别法则?,Pdx?Qdy为某函数u(x,y)的全微分.?x?y
?Q??2x(x4?y2)??x2?(x4?y2)??1?4x3??2x(x4?y2)??4?x5(x4?y2)??1?x
?P?2x(x4?y2)??2?xy(x4?y2)??1?2y?2x(x4?y2)??4?xy2(x4?y2)??1?y 由?P?Q?得:4x(x4?y2)??4?x(x4?y2)??1(x4?y2)?0,?y?x
即4x(x4?y2)?(??1)?0????1. 在x?0的半平面取点(1,0),作起点,
(x,y)2xydx?x2dyx2x?0yx2yu(x,y)??C?dx?dy?C??arctan?C.(1,0)1x4?y20x4?y2x4?y2x2
???三、证明题（本题8分）：
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)?g(a),f(b)?g(b),证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).
证：构造辅助函数 h(x)?f(x)?g(x),则h(a)?0,h(b)?0, 证明思路存在x0?(a,b)，使得h(x0)?0,再用两次罗尔定理得到结论.
(a,b)内同一点x0取得，（1）若f(x),g(x)的最大值在则存在x0?(a,b)，使得h(x0)?0,
已知f(x),g(x)在(a,b)内具有二阶导数，用罗尔定理，?x1?(a,x0)与?x2?(x0,b)， 使得h?(x1)?0，h?(x2)?0，进而???(x1,x2)?(a,b)，使得h??(?)?0，即
f??(?)?g??(?).
(a,b)内同一点取得，则存在x1?(a,b)（2）若f(x),g(x)的最大值不在x1?(a,b)，x1?x2。
使得
与
f(x1)?maxf(x)?g(x2)?maxg(x)x?(a,b)x?(a,b)，
h(x1)?f(x1)?g(x1)?0且h(x2)?f(x2)?g(x2)?0，
由连续函数的零点定理，存在介于x1,x2之间的x0?(a,b)，使得h(x0)?0,又
h(a)?0,h(b)?0,
f(x),g(x)在(a,b)内具有二阶导数，由罗尔定理，??1?(a,x0)与??2?(x0,b)，
使得h?(?1)?0，h?(?2)?0，进而???(?1,?2)?(a,b)，使得h??(?)?0，即
f??(?)?g??(?).
综合上述，???(a,b)，使得f??(?)?g??(?).证毕.
中国石油大学（华东）
第二十二届高等数学竞赛试卷参考答案 一、填空题（每小题5分，本题共50分）：
x2?1若lim(?ax?b)?0,a?x??x?11.
;b?.