△EDF和△MDF中 ED = MD
∠FDM = ∠EDF DF = DF
∴△EDF≌△MDF ∴EF = MF
∵在△CMF中，CF＋CM ＞MF BE＋CF＞EF
（此题也可加倍FD，证法同上）
规律23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD
证明：延长AD至E，使DE = AD，连结BE
∵AD为△ABC的中线 ∴BD = CD A在△ACD和△EBD中
2BD = CD B1CD∠1 = ∠2
EAD = ED
∴△ACD≌△EBD
∵△ABE中有AB＋BE＞AE ∴AB＋AC＞2AD
规律24.截长补短作辅助线的方法
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.
当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法： ①a＞b ②a±b = c ③a±b = c±d
例：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，
求证：AB－AC＞PB－PC
证明：⑴截长法：在AB上截取AN = AC，连结PN
在△APN和△APC中， AN = AC
A∠1 = ∠2
12AP = AP PN∴△APN≌△APC BCD∴PC = PN ∵△BPN中有PB－PC＜BN ∴PB－PC＜AB－AC
⑵补短法：延长AC至M，使AM = AB，连结PM 在△ABP和△AMP中
BAB = AM
∠1 = ∠2 AP = AP
- 6 -
A12PDCM
∴△ABP≌△AMP ∴PB = PM
又∵在△PCM中有CM ＞PM－PC ∴AB－AC＞PB－PC
练习：1.已知，在△ABC中，∠B = 60o,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O
求证：AC = AE＋CD
2.已知，如图，AB∥CD∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. DE 求证：BC = AB＋CD
A
1423 BC 规律25.证明两条线段相等的步骤：
①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.
③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.
例:如图，已知，BE、CD相交于F，∠B = ∠C，∠1 = ∠2，求证：DF = EF
证明：∵∠ADF =∠B＋∠3
∠AEF = ∠C＋∠4 又∵∠3 = ∠4
∠B = ∠C
∴∠ADF = ∠AEF 在△ADF和△AEF中 A∠ADF = ∠AEF ∠1 = ∠2
DE12AF = AF 34F∴△ADF≌△AEF BC
∴DF = EF
规律26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等. 例：已知，如图Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90o，过A作任一条直线AN，作BD⊥AN于D，
CE⊥AN于E，求证：DE = BD－CE 证明：∵∠BAC = 90o, BD⊥AN
∴∠1＋∠2 = 90o ∠1＋∠3 = 90o ∴∠2 = ∠3
∵BD⊥AN CE⊥AN ∴∠BDA =∠AEC = 90o 在△ABD和△CAE中，
A∠BDA =∠AEC 12D∠2 = ∠3
3BCAB = AC
E∴△ABD≌△CAE N ∴BD = AE且AD = CE
∴AE－AD = BD－CE ∴DE = BD－CE
规律27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等. 例：AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于F，BE⊥AD的延长线于E
- 7 -
求证：BE = CF 证明：（略）
A
F 2BC1D
E 规律28.条件不足时延长已知边构造三角形. 例：已知AC = BD，AD⊥AC于A，BCBD于B
求证：AD = BC
证明：分别延长DA、CB交于点E
∵AD⊥AC BC⊥BD ∴∠CAE = ∠DBE = 90o 在△DBE和△CAE中 ∠DBE =∠CAE
EBD = AC ∠E =∠E
AB∴△DBE≌△CAE
O∴ED = EC，EB = EA
CD∴ED－EA = EC－ EB ∴AD = BC
规律29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题. 例：已知，如图，AB∥CD，AD∥BC 求证：AB = CD
证明：连结AC（或BD）
A∵AB∥CD，AD∥BC D13∴∠1 = ∠2
24在△ABC和△CDA中， BC ∠1 = ∠2
AC = CA ∠3 = ∠4
∴△ABC≌△CDA
E∴AB = CD
C练习：已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF， D求证：BE = DF BA
F 规律30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”.
例：已知，如图，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90o，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延长线于E
求证：BD = 2CE
证明：分别延长BA、CE交于F
∵BE⊥CF
∴∠BEF =∠BEC = 90o
F在△BEF和△BEC中 A- 8 -
B12EDC
∠1 = ∠2 BE = BE ∠BEF =∠BEC ∴△BEF≌△BEC ∴CE = FE =
1CF 2∵∠BAC = 90o , BE⊥CF ∴∠BAC = ∠CAF = 90o ∠1＋∠BDA = 90o ∠1＋∠BFC = 90o ∠BDA = ∠BFC
在△ABD和△ACF中 ∠BAC = ∠CAF ∠BDA = ∠BFC AB = AC
∴△ABD≌△ACF ∴BD = CF ∴BD = 2CE
练习：已知，如图，∠ACB = 3∠B，∠1 =∠2,CD⊥AD于D，
求证：AB－AC = 2CD
A
12
D BC
规律31.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形. 例：已知，如图，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD，
求证：∠A = ∠D AD证明：（连结BC，过程略） O BC
规律32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件. 例：已知，如图，AB = DC，∠A = ∠D 求证：∠ABC = ∠DCB
证明：分别取AD、BC中点N、M， AD连结NB、NM、NC（过程略） CB
规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离
相等证题.
例：已知，如图，∠1 = ∠2 ，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC = 2BD，
求证：∠BAP＋∠BCP = 180o 证明：过P作PE⊥BA于E
∵PD⊥BC，∠1 = ∠2 ∴PE = PD
- 9 -
在Rt△BPE和Rt△BPD中 BP = BP
EANPE = PD P∴Rt△BPE≌Rt△BPD 12BDC∴BE = BD
∵AB＋BC = 2BD，BC = CD＋BD，AB = BE－AE ∴AE = CD
∵PE⊥BE，PD⊥BC ∠PEB =∠PDC = 90o 在△PEA和△PDC中 PE = PD
∠PEB =∠PDC AE =CD
∴△PEA≌△PDC ∴∠PCB = ∠EAP
∵∠BAP＋∠EAP = 180o ∴∠BAP＋∠BCP = 180o
练习：1.已知，如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于P，
PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线 M DAP
BC FN
2. 已知，如图，在△ABC中，∠ABC =100o，∠ACB = 20o，CE是∠ACB的平分线，D是AC上一点，若∠CBD = 20o，求∠CED的度数。
B
E
A CD
规律34.有等腰三角形时常用的辅助线 ⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，
求证：∠BAC = 2∠DBC
证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2 =
又∵AB = AC
∴AE⊥BC
∴∠2＋∠ACB = 90o ∵BD⊥AC
∴∠DBC＋∠ACB = 90o ∴∠2 = ∠DBC
- 10 -
1∠BAC 2A12DBEC