∴ON = OF ∴OF =
1CE 2规律66.有下列情况时常构造梯形中位线
⑴有一腰中点 ⑵有两腰中点
⑶涉及梯形上、下底和
例1：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB = 90o ,E为CD的中点，连结AE、BE
求证：AE = BE
证明：取AB的中点F，连结EF，则
DEF∥AD A∴∠DAB =∠EFB =90o
EF∴EF⊥AB
∴EF为AB的中垂线 CB ∴AE = BE
例2：从□ABCD的顶点ABCD向形外的任意直线MN引垂线AA’、BB’、CC’、DD’，垂足分别为A’、
B’、C’、D’
求证：AA’＋CC’ = BB’＋DD’
证明：连结AC、BD，它们交于点O，过O作OE⊥MN于E，则AA’∥OE∥CC’
∵四边形ABCD为平行四边形 DA∴AO = CO OC∴A’E = C’E
B∴AA’＋CC’ = 2OE
MB'A'EC'D'N同理可证：BB’＋DD’ = 2OE
∴AA’＋CC’ = BB’＋DD’
规律67.连结任意四边形各边中点所得的四边形为平行四边形. 规律68.连结对角线相等的四边形中点所得的四边形为菱形.
规律69.连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为矩形.
规律70.连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形为正方形.
规律71.连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点所得的四边形分别为平行四边
形、菱形、矩形、正方形、菱形.
规律72.等腰梯形的对角线互相垂直时，梯形的高等于两底和的一半（或中位线的长）. 以上各规律请同学们自己证明.（利用中位线证明）
规律73.等腰梯形的对角线与底构成的两个三角形为等腰三角形.
例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD = BC，对角线AC、BD相交于O，
∠AOB = 60o ，且E、F、M分别为OD、OA、BC的中点 求证：△MEF是等边三角形 证明：连结BF、CE
DC∵四边形ABCD为等腰梯形 E∴AD = BC，AC = BD
OM又∵AB为公共边 F∴△ABD≌△BAC
AB∴∠CAB =∠DBA ∴OA = OB
∵∠AOB = 60o
- 26 -
∴△ABO为等边三角形 又∵F为AO中点 ∴BF⊥AC
∵M为BC中点 ∴MF =
1BC 21BC 2同理可证：ME =
∵E、F分别为OD、OA中点 ∴EF =
1AD 2∵AD = CB
∴ME = MF = EF
∴△MEF为等边三角形
规律74.如果矩形对角线相交所成的钝角为120o，则矩形较短边是对角线长的一半. 例：已知，四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB = 120O.
求证：AB =
1BD 2ADO（证明略）
BC
规律75.梯形的面积等于一腰的中点到另一腰的距离与另一腰的乘积. 例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，EF⊥AB于F
求证：S梯形ABCD = EF·AB
证明：过E作MN∥AB，交AD的延长线于M，交BC于N，则四边形ABNM为平行四边形
∵EF⊥AB ∴S□ABNM = AB·EF
AD∵AD∥BC MF1E∴∠M =∠MNC 2又∵DE = CE ∠1 =∠2 BCN ∴△CEN≌△DEM
∴S△CEN = S△DEM
∴S梯形ABCD = S五边形ABNED＋S△CEN = S五边形ABNED＋S△DEM
规律76.若菱形有一内角为120o，则菱形的周长是较短对角线长的4倍. 例：已知，四边形ABCD是菱形，∠ABC=120O.
D求证:AB = BD
（证明略）
AC
B
- 27 -
相似形和解直角三角形部分 规律77.当图形中有叉线（基本图形如下）时，常作平行线.
例：已知，如图，AD为△ABC的中线，F为AB上任一点，CF交AD于E
求证：
AFEF? ABECAFFNFNEF?? ABBDCDCEAFEF? ABECAFEN证明：过F作FN∥BC交AD于N
∴
又∵CD = BD ∴
BCD
规律78.有中线时延长中线（有时也可在中线上截取线段）构造平行四边形.
例：AD为△ABC的中线，E为AD上一点，BE、CE的延长线分别交AC、AB于点M、N
求证：MN∥BC
证明：延长AD至F，使DF = DE，连结BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形
∴BF∥CN CF∥BM
ANAEAEAM??∴ NBEFEFMCANAM?∴ NBMCANEBDMCF∴MN∥BC
规律79.当已知或求证中，涉及到以下情况时，常构造直角三角形.
⑴有特殊角时，如有30o、45o、60o、120o、135o角时. ⑵涉及有关锐角三角函数值时.
构造直角三角形经常通过作垂线来实现.
例：一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C在北偏东60o的方向上，船前进8海里后到达B，再
测C岛在北偏东30的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近？最近距离是多少？ 解：由题可作图，且∠CAB = 60o ，∠ABC = 120o ，AB = BC = 8（海里）
在Rt△ABC中，BC = 8，∠CBD = 60o ，
∴BD = BC·cos60o = 8×= 4（海里）
北C东12- 28 -
ABD
CD = BC·sin60o = 8×3= 43（海里） 2答：船再前进4海里就与C最近，最近距离是43海里. 规律80. 0o、30o、45o、60o、90o角的三角函数值表
三角函数 0o 30o
sinA 0 1
2
cosA 1 3
2
tanA 0 3
345o 222260o 3 290o 1 0 － 1 21
cotA － 1 0 3 3 3
另外：0o、30o、45o、60o、90o的正弦、余弦、正切值也可用下面的口诀来记忆： 0o可记为北京电话区号不存在，即：010不存在，90o正好相反 30o、45o、60o可记为：
1、2、3、3、2、1， 3、9、27，
弦比2，切比3， 分子根号别忘添.
其中余切值可利用正切与余切互为倒数求得. 规律81. 同角三角函数之间的关系：
22（1）.平方关系：sin??cos??1 （2）.倒数关系：tan??cot??1
3 （3）.商数关系：tan??sin?cos? cot?? cos?sin?规律82. 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
规律83. 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值. 规律84.三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦之积的一半. 例：已知△ABC中,∠A = 60o,AB = 6,AC = 4,求△ABC的面积。
解：作BD⊥AC于D
在Rt△ABD中，BD = AB·sinA
∴S△ABC = =
1 AC·BD 21AC·AB·sinA 21= ×4×6×sin60o 2A3= 12×= 63 2- 29 -
DBC
规律85.等腰直角三角形斜边的长等于直角边的2倍.
规律86.在含有30o角的直角三角形中，60o角所对的直角边是30o角所对的直角边的3倍.（即30o
角所对的直角边是几，另一条直角边就是几倍3.）
规律87.直角三角形中，如果较长直角边是较短直角边的2倍，则斜边是较短直角边的5倍.
圆 部 分
规律88.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一
是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题.
例：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：AC = BD
证明:过O作OE⊥AB于E
∵O为圆心，OE⊥AB
O∴AE = BE CE = DE
ACEDB∴AC = BD
练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求⊙O的半径. O ABP
规律89.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.
例：如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证：
证明：（一）连结OC、OD
∵M、N分别是AO、BO的中点
∴OM =
11AO、ON = BO 22∵OA = OB
∴OM = ON
∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC = OD ∴Rt△COM≌Rt△DON ∴∠COA = ∠DOB ∴
CADMONB
（二）连结AC、OC、OD、BD
∵M、N分别是AO、BO的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD
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