∴
规律90.有弦中点时常连弦心距
例：如图，已知M、N分别是⊙O 的弦AB、CD的中点,AB = CD，求证：∠AMN = ∠CNM
证明：连结OM、ON
∵O为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点 ∴OM⊥AB ON⊥CD ∵AB = CD CA∴OM = ON
N∴∠OMN = ∠ONM MO∵∠AMN = 90o－∠OMN
DBo
∠CNM = 90－∠ONM
∴∠AMN =∠CNM
规律91.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.
例：如图，已知⊙O1与⊙O2为等圆，P为O1、O2的中点，过P的直线分别交⊙O1、⊙O2于A、C、
D、B.求证：AC = BD
证明：过O1作O1M⊥AB于M,过O2作O2N⊥AB于N，则O1M∥O2N
∴
O1MO1P ?O2NO2PAMCPO1∵O1P = O2P DNB∴O1M = O2N
∴AC = BD
规律92.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：
⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角
例：如图，已知D、E分别为半径OA、OB的中点，C为弧AB的中点，求证：CD OED= CE
AB证明：连结OC C
∵C为弧AB的中点
O2? ∴?AB?BC∴∠AOC =∠BOC
∵D、E分别为OA、OB的中点，且AO = BO ∴OD = OE =
11AO = BO 22又∵OC = OC
∴△ODC≌△OEC ∴CD = CE
规律93.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半. 规律94.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半.
规律95.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.
例：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC = PC,PB的延长线交⊙O于
D，求证：AC = DC
- 31 -
证明：连结AD
∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADP = 90o ∵AC = PC
DBOACP1∴AC = CD =AP
2点，连结BD交⊙O于F.求证：
练习：如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90o ,以BC为直径的⊙O交AB于E，D为AC中
BCCF? BEEF规律96.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角. 规律97.有等弧时常作辅助线有以下几种：
⑴作等弧所对的弦 ⑵作等弧所对的圆心角 ⑶作等弧所对的圆周角
练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)
2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC （提示如图） F AM 12CO BABCEDOE GFD2题图1题图
规律98.有弦中点时，常构造三角形中位线.
例：已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE =
证明：作直径CF，连结DF、BF
∵CF为⊙O的直径 ∴CD⊥FD 又∵CD⊥AB ∴AB∥DF
1AD 2? ∴?AD?BF∴AD = BF
∵OE⊥BC O为圆心 CO = FO ∴CE = BE
ACOEBD1∴OE =BF
21∴OE =AD
2F
规律99.圆上有四点时，常构造圆内接四边形. 例：如图，△ABC内接于⊙O，直线AD平分∠FAC，交⊙O于E，交BC的延长线于D，求证：AB·AC
= AD·AE
证明：连结BE
E- 32 -
BO3A12FCD
∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1 ∴∠3 =∠2
∵四边形ACBE为圆内接四边形 ∴∠ACD =∠E ∴△ABE∽△ADC ∴
AEAB? ACAD∴AB·AC = AD·AE
规律100.两圆相交时，常连结两圆的公共弦
例：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B，过A的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D，过B的直线分别交
⊙O1、⊙O2于E、F.求证：CE∥DF 证明：连结AB
∵四边形为圆内接四边形
D∴∠ABF =∠C AC同理可证：∠ABE =∠D
O2O1∵∠ABF ＋∠ABE = 180o FEBo
∴∠C＋∠D = 180 ∴CE∥DF
规律101.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：
⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.
⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.
例1：如图，P为⊙O外一点，以OP为直径作圆交⊙O于A、B两点，连结PA、PB.
求证：PA、PB为⊙O的切线 证明：连结OA
A∵PO为直径
PO∴∠PAO = 90o
B∴OA⊥PA
∵OA为⊙O的半径 ∴PA为⊙O的切线
同理：PB也为⊙O的切线
例2：如图，同心圆O，大圆的弦AB = CD，且AB是小圆的切线，切点为E，求证：CD是小圆的
切线
证明：连结OE，过O作OF⊥CD于F
D∵OE为半径，AB为小圆的切线 F∴OE⊥AB CO∵OF⊥CD, AB = CD BAE ∴OF = OE
∴CD为小圆的切线
练习：如图，等腰△ABC，以腰AB为直径作⊙O交底边BC于P，PE⊥AC于E, 求证：PE是⊙O的切线
A
O
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EBPC
规律102.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.
例：如图，在Rt△ABC中，∠C = 90o，AC = 12，BC = 9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O
切AC于E，求AD长. 解：连结OE，则OE⊥AC
∵BC⊥AC ∴OE∥BC
∴
OEAO? BCAB在Rt△ABC中，AB = ∴
AC2?BC2?122?92?15
OEAB?OB15?OE?? 9AB1545∴OE = OB =
845∴BD = 2OB =
44515∴AD = AB－DB = 15－=
4415答：AD的长为.
4CEADOB
练习：如图，⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC = CD P C DBE AO
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