即∠DPM =∠MBN ∴△DPM≌△MBN ∴DM = MN
注意：把M改为AB上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。
练习：已知，Q为正方形ABCD的CD边的中点，P为CQ上一点，且AP = PC＋BC
求证：∠BAP = 2∠QAD QPDC AB
规律54.利用正方形进行旋转变换
旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端
点旋转到另一位置的引辅助线方法.
旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件. 旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中.
例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90o，D为BC边上任一点 求证：2AD2 = BD2＋CD2
证明：把△ABD绕点A逆时针旋转90o得△ACE
∴BD = CE ∠B = ∠ACE ∵∠BAC = 90o
A∴∠DAE = 90o
E∴DE2 = AD2＋AE2 = 2AD2
∵∠B＋∠ACB = 90o BCDo
∴∠DCE = 90 ∴CD2＋CE2 = DE2
∴2AD2 = BD2＋CD2
注意：把△ADC绕点A顺时针旋转90o 也可，方法同上。
练习：已知，如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F
求证：BE = CF＋AE
EDA
F
BC
规律55.有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形. 例：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点
求证：AP = AB
证明：延长CF交BA的延长线于K
∵四边形ABCD为正方形
∴BC = AB = CD = DA ∠BCD =∠D =∠BAD = 90o ∵E、F分别是CD、DA的中点
∴CE =
11CD DF = AF = AD 22CEP12∴CE = DF
- 21 -
DFKBA
∴△BCE≌△CDF ∴∠CBE =∠DCF
∵∠BCF＋∠DCF = 90o ∴∠BCF＋∠CBE = 90o ∴BE⊥CF
又∵∠D =∠DAK = 90o DF = AF ∠1 =∠2 ∴△CDF≌△KAF ∴CD = KA ∴BA = KA 又∵BE⊥CF ∴AP = AB
练习：如图，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ = QC，P在BC上，且AP = CD＋CP
求证：AQ平分∠DAP
DA
Q
BPC
规律56.从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形. 例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD = 3，AB = 4，BC = 7
求∠B的度数
解：过A作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD为平行四边形
∴AD = EC， CD = AE
AD∵AB = CD = 4,
AD = 3, BC = 7 ∴BE = AE = AB = 4
BC∴△ABE为等边三角形 E ∴∠B = 60o
规律57.从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形. 例：已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = AC，∠BAC = 90o，BD = BC，BD交AC于O
求证：CO = CD
证明：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F则四边形AEFD为矩形
∴AE = DF
∵AB = AC，AE⊥BC，∠BAC = 90o，
∴AE = BE = CE =∵BC = BD ∴AE = DF =
1BC，∠ACB = 45o 21BD 2AOBD又∵DF⊥BC ∴∠DBC = 30o ∵BD = BC
∴∠BDC =∠BCD =
EFC
1(180o－∠DBC) 2- 22 -
= 75o
∵∠DOC =∠DBC＋∠ACB = 30o＋45o = 75o ∴∠BDC =∠DOC ∴CO = CD
规律58.从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形. 例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC = 10，DE⊥BC于E
求DE的长.
解：过D作DF∥AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形
∴AC = DF， AD = CF
DA∵四边形ABCD为等腰梯形 ∴AC = DB ∴BD = FD BFCE∵DE⊥BC
∴BE = EF =
=
1BF 211(BC＋CF) =(BC＋AD) 221=×10 = 5 2∵AC∥DF，BD⊥AC ∴BD⊥DF ∵BE = FE ∴DE = BE = EF =
1BF = 5 2答：DE的长为5.
规律59.延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形.
例：已知，如图，在四边形ABCD中，有AB = DC，∠B =∠C，AD＜BC
求证：四边形ABCD等腰梯形
证明：延长BA、CD，它们交于点E
∵∠B =∠C ∴EB = EC E又∵AB = DC
AD∴AE =DE
∴∠EAD =∠EDA
B∵∠E＋∠EAD＋∠EDA = 180o C o
∠B＋∠C＋∠E = 180 ∴∠EAD =∠B ∴AD∥BC
∵AD≠BC，∠B =∠C ∴四边形ABCD等腰梯形
（此题还可以过一顶点作AB或CD的平行线；也可以过A、D作BC的垂线）
规律60.有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形. 例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，EF⊥AB于F
求证：S梯形ABCD = EF·AB
证明：过E作MN∥AB，交AD的延长线于M，交BC于N，则四边形ABNM为平行四边形
- 23 -
BADF12MECN
∵EF⊥AB ∴S□ABNM = AB·EF ∵AD∥BC
∴∠M =∠MNC
又∵DE = CE ∠1 =∠2 ∴△CEN≌△DEM ∴S△CEN = S△DEM
∴S梯形ABCD = S五边形ABNED＋S△CEN = S五边形ABNED＋S△DEM = S梯形ABCD = EF·AB
规律61. 有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交，把梯形
转换成三角形.
例：已知,如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD于A，DE = EC = BC
求证：∠AEC = 3∠DAE
证明：连结BE并延长交AD的延长线于N
∵AD∥BC ∴∠3 =∠N
又∵∠1 =∠2 ED = EC ∴△DEN≌△CEB
∴BE = EN DN = BC
DNA∵AB⊥AD
∴AE = EN = BE 1E2∴∠N =∠DAE
∴∠AEB =∠N＋∠DAE = 2∠DAE
B3C∵DE = BC BC = DN ∴DE = DN ∴∠N =∠1
∵∠1 =∠2 ∠N =∠DAE ∴∠2 =∠DAE
∴∠AEB＋∠2 = 2∠DAE＋∠DAE 即∠AEC = 3∠DAE
规律62.梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线.
例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EF⊥BC
求证：∠B =∠C
证明：过E作EM∥AB, EN∥CD,交BC于M、N，则得□ABME，□NCDE
∴AE = BM，AB∥= EM，DE = CN，CD = NE ∵AE = DE ∴BM = CN AED又∵BF = CF ∴FM = FN
12BCMN又∵EF⊥BC F
∴EM = EN ∴∠1 =∠2
∵AB∥EM， CD∥EN ∴∠1 =∠B ∠2 =∠C ∴∠B = ∠C
- 24 -
规律63. 任意四边形的对角线互相垂直时，它们的面积都等于对角线乘积的一半.
例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O，且AC⊥BD，AC = 4，BD = 3.4,
求梯形ABCD的面积. 解：∵AC⊥BD
∴S△ABD =S△BCD =
1AO·BD 2AOBCD1CO·BD 2∴S梯形ABCD = S△ABD ＋S△BCD
11=AO·BD＋CO·BD 221=(AO＋CO)·BD 211即S梯形ABCD = AC·BD = ×4×3.4
22
=6.8
答：梯形ABCD面积为6.8.
规律64.有线段中点时，常过中点作平行线，利用平行线等分线段定理的推论证题. 例:已知：△ABC中，D为AB中点，E为BC的三等分点，（BE＞CE）AE、CD交于点F 求证：F为CD的中点
证明：过D作DN∥AE交BC于N
∵D为AB中点
A∴BN = EN
D又∵E为BC的三等分点
F∴BN = EN = CE
BCEN∵DN∥AE ∴F为CD的中点
规律65.有下列情况时常作三角形中位线.
⑴有一边中点；
⑵有线段倍分关系；
⑶有两边（或两边以上）中点.
例：如图，AE为正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O
求证：OF =
1CE 2A12DN5OF64证明：取AE的中点N，连结ON,则ON为△ACE的中位线
1∴ON∥CE，ON =CE
2∴∠6 =∠ONE
∵四边形ABCD为正方形 ∴∠3 =∠4 = 45o
∴∠5 =∠3＋∠1, ∠6 =∠4＋∠2 ∵∠1 =∠2 ∴∠5 =∠6 ∵∠6 =∠ONE ∴∠ONE =∠5
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3BEC