即△ABC为直角三角形
规律39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题. 例：已知，如图，在△ABC中，∠A = 90o，DE为BC的垂直平分线
求证：BE2－AE2 = AC2
证明：连结CE，则BE = CE Ao
∵∠A = 90E222
∴AE＋AC = EC
BC∴AE2＋AC2= BE2 D∴BE2－AE2 = AC2
练习：已知，如图，在△ABC中，∠BAC = 90o，AB = AC，P为BC上一点
求证：PB2＋PC2= 2PA2
A BP
规律40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.
C
例：已知，如图，在△ABC中，∠B = 45o，∠C = 30o，AB =2，求AC的长.
解：过A作AD⊥BC于D
∴∠B＋∠BAD = 90o，
∵∠B = 45o，∠B = ∠BAD = 45o， ∴AD = BD
A∵AB2 = AD2＋BD2，AB =2 B∴AD = 1
∵∠C = 30o，AD⊥BC ∴AC = 2AD = 2
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DC
四边形部分
规律41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.
例：已知,□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多
8cm，求这个四边形各边长.
解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB = CD，AD = CB，AO = CO ∵AB＋CD＋DA＋CB = 60
AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC) = 8 ∴AB＋BC = 30，AB－BC =8 ∴AB = CD = 19，BC = AD = 11
答：这个四边形各边长分别为19cm、11cm、19cm、11cm.
规律42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差. （例题如上）
规律43.有平行线时常作平行线构造平行四边形 例：已知，如图，Rt△ABC，∠ACB = 90o，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH∥AB
交BC于H 求证：CE = BH C5证明：过F作FP∥BC交AB于P，则四边形FPBH为平行四
3E边形 F4H∴∠B =∠FPA，BH = FP 12oAB∵∠ACB = 90，CD⊥AB DP
∴∠5＋∠CAB = 45o，∠B＋∠CAB = 90o ∴∠5 =∠B ∴∠5 =∠FPA
又∵∠1 =∠2，AF = AF ∴△CAF≌△PAF ∴CF = FP
∵∠4 =∠1＋∠5，∠3 =∠2＋∠B ∴∠3 =∠4 ∴CF = CE ∴CE = BH
练习：已知，如图，AB∥EF∥GH，BE = GC 求证：AB = EF＋GH A
F
H
BCEG
规律44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段. 例：已知，如图，在□ABCD中，AB = 2BC，M为AB中点
求证：CM⊥DM
证明：延长DM、CB交于N
∵四边形ABCD为平行四边形
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∴AD = BC，AD∥BC
∴∠A = ∠NBA ∠ADN =∠N
DC又∵AM = BM 2∴△AMD≌△BMN
1ABM3∴AD = BN
∴BN = BC
N∵AB = 2BC，AM = BM ∴BM = BC = BN
∴∠1 =∠2，∠3 =∠N
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠N = 180o， ∴∠1＋∠3 = 90o ∴CM⊥DM
规律45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等. 如图：OE = OF EAD
O
B FC
规律46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三
角形的面积等于平行四边形面积的一半. 如图：S△BEC =
1S□ABCD 2AED BC
规律47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的
面积之和等于平行四边形面积的一半. 如图：S△AOB ＋ S△DOC = S△BOC＋S△AOD =
1S□ABCD 2ADO
BC
规律48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等. 如图：AO2＋OC2 = BO2 ＋DO2
O
ADAD O
BBCC 规律49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形. 如图：四边形GHMN是矩形
AD
NG
MH BC（规律45～规律49请同学们自己证明）
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规律50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.
例：已知，如图，E为矩形ABCD的边AD上一点，且BE = ED，P为对角线BD上一点，PF⊥BE
于F，PG⊥AD于G 求证：PF＋PG = AB
证明：证法一：过P作PH⊥AB于H，则四边形AHPG为矩形
∴AH = GP PH∥AD ∴∠ADB =∠HPB
EGDA∵BE = DE F∴∠EBD = ∠ADB HP∴∠HPB =∠EBD BCNo
又∵∠PFB =∠BHP = 90 ∴△PFB≌△BHP
∴HB = FP
∴AH＋HB = PG＋PF 即AB = PG＋PF
证法二：延长GP交BC于N，则四边形ABNG为矩形，（证明略） 规律51.直角三角形常用辅助线方法： ⑴作斜边上的高
例：已知，如图,若从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线交于点E
求证：AC = CE
证明：过A作AF⊥BD，垂足为F，则AF∥EG
DAG∴∠FAE = ∠AEG
O∵四边形ABCD为矩形
FBC∴∠BAD = 90o OA = OD
∴∠BDA =∠CAD ∵AF⊥BD
90o ∴∠ABD＋∠ADB = ∠ABD＋∠BAF =
E∴∠BAF =∠ADB =∠CAD
∵AE为∠BAD的平分线 ∴∠BAE =∠DAE
∴∠BAE－∠BAF =∠DAE－∠DAC 即∠FAE =∠CAE ∴∠CAE =∠AEG ∴AC = EC
⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线： ①有斜边中点时
例：已知，如图，AD、BE是△ABC的高， F是DE的中点，G是AB
的中点
A求证：GF⊥DE EFD证明：连结GE、GD
∵AD、BE是△ABC的高，G是AB的中点
11∴GE = AB，GD = AB
22∴GE = GD
∵F是DE的中点
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BGC
∴GF⊥DE
②有和斜边倍分关系的线段时
例：已知，如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，且DA⊥BA于A，AC =
求证：∠ACB = 2∠B
证明：取BD中点E，连结AE，则AE = BE =
∴∠1 =∠B ∵AC =
1BD 21BD 21BD 2A1∴AC = AE
∴∠ACB =∠2
2BDC∵∠2 =∠1＋∠B E
∴∠2 = 2∠B ∴∠ACB = 2∠B
规律52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.
例：已知，如图，过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F 求证：AP = EF
证明:连结AC 、PC
∵四边形ABCD为正方形
∴BD垂直平分AC，∠BCD = 90o
DA∴AP = CP
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD = 90o ∴四边形PECF为矩形 FP∴PC = EF CBE∴AP = EF
规律53.有正方形一边中点时常取另一边中点.
例：已知,如图，正方形ABCD中，M为AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N
求证：MD = MN
证明：取AD的中点P，连结PM，则DP = PA =
∵四边形ABCD为正方形 ∴AD = AB, ∠A =∠ABC = 90o
∴∠1＋∠AMD = 90o，又DM⊥MN ∴∠2＋∠AMD = 90o ∴∠1 =∠2 ∵M为AB中点 ∴AM = MB =
1AD 2D1CNM2PAB1AB 2E
∴DP = MB AP = AM ∴∠APM =∠AMP = 45o ∴∠DPM =135o ∵BN平分∠CBE ∴∠CBN = 45o
∴∠MBN =∠MBC＋∠CBN = 90o＋45o= 135o
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