∴∠BAC = 2∠DBC
（方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略） （方法三）取BC中点E，连结AE（过程略）
⑵有底边中点时，常作底边中线
例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求证：DE = DF 证明：连结AD.
A∵D为BC中点， ∴BD = CD
EF又∵AB =AC
BCD∴AD平分∠BAC ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE = DF
⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题
例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求
证：EF⊥BC
证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC
∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC
N∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180o
E∴2∠BCA＋2∠ACN = 180o
A∴∠BCA＋∠ACN = 90o
F即∠BCN = 90o
BC∴NC⊥BC
∵AE = AF
∴∠AEF = ∠AFE
又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC ∴EF∥NC ∴EF⊥BC
⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线
例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE
交BC于F 求证：DF = EF 证明：（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E，
∵AB = AC， ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB AA∴BD = DN 又∵BD = CE DD∴DN = EC
C11CMB2B2FF在△DNF和△ECF中 N∠1 = ∠2 EE
∠NDF =∠E
- 11 -
DN = EC
∴△DNF≌△ECF ∴DF = EF
（证法二）过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB =∠B（过程略）
⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线
例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD = AE，连结DE
求证：DE⊥BC
证明：（证法一）过点E作EF∥BC交AB于F，则
ND∠AFE =∠B
AM∠AEF =∠C
FE∵AB = AC BC ∴∠B =∠C
∴∠AFE =∠AEF ∵AD = AE
∴∠AED =∠ADE
又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180o ∴2∠AEF＋2∠AED = 90o 即∠FED = 90o ∴DE⊥FE 又∵EF∥BC ∴DE⊥BC
（证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于N，（过程略） （证法三）过点A作AM∥BC交DE于M，（过程略）
⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形
例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o= 30o 求∠PAB的度数.
解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE
则∠BAE =∠ABE = 60o AE = AB = BE ∵AB = AC
∴AE = AC ∠ABC =∠ACB ∴∠AEC =∠ACE
∵∠EAC =∠BAC－∠BAE = 80o －60o = 20o
∴∠ACE =
1(180o－∠EAC)= 80o2 A∵∠ACB= 12(180o－∠BAC)= 50o
∴∠BCE =∠ACE－∠ACB BPC = 80o－50o = 30o E∵∠PCB = 30o
∴∠PCB = ∠BCE
∵∠ABC =∠ACB = 50o, ∠ABE = 60o
∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60o－50o =10o ∵∠PBC = 10o
- 12 -
PCB ∠
∴∠PBC = ∠EBC 在△PBC和△EBC中 ∠PBC = ∠EBC BC = BC
∠PCB = ∠BCE ∴△PBC≌△EBC ∴BP = BE ∵AB = BE ∴AB = BP
∴∠BAP =∠BPA
∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o ∴∠PAB =
1(180o－∠ABP)= 70o 2解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。
解法三：以BC为一边作等边三角形△BCE，连结AE,则
EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o ∵EB = EC
∴E在BC的中垂线上 同理A在BC的中垂线上
∴EA所在的直线是BC的中垂线 ∴EA⊥BC
∠AEB =
EA1∠BEC = 30o =∠PCB 2o
BPC由解法一知：∠ABC = 50
∴∠ABE = ∠EBC－∠ABC = 10o =∠PBC ∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB ∴△ABE≌△PBC ∴AB = BP
∴∠BAP =∠BPA
∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o ∴∠PAB =
11(180o－∠ABP) = (180o－40o)= 70o 22规律35.有二倍角时常用的辅助线
⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角
例：已知，如图，在△ABC中，∠1 = ∠2，∠ABC = 2∠C，
求证：AB＋BD = AC
证明：延长AB到E，使BE = BD，连结DE
则∠BED = ∠BDE
∵∠ABD =∠E＋∠BDE ∴∠ABC =2∠E ∵∠ABC = 2∠C
A∴∠E = ∠C
12在△AED和△ACD中 ∠E = ∠C BCD∠1 = ∠2
E- 13 -
AD = AD
∴△AED≌△ACD ∴AC = AE
∵AE = AB＋BE ∴AC = AB＋BE 即AB＋BD = AC
⑵平分二倍角
例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC
求证：∠ABC = ∠ACB
证明：作∠BAC的平分线AE交BC于E，则∠BAE = ∠CAE = ∠DBC
∵BD⊥AC
∴∠CBD ＋∠C = 90o
A∴∠CAE＋∠C= 90o
∵∠AEC= 180o－∠CAE－∠C= 90o
D∴AE⊥BC
∴∠ABC＋∠BAE = 90o
BCE∵∠CAE＋∠C= 90o
∠BAE = ∠CAE ∴∠ABC = ∠ACB
⑶加倍小角
例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC
求证：∠ABC = ∠ACB
证明：作∠FBD =∠DBC,BF交AC于F（过程略） A
F
D
BC
规律36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来.
例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120o，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，
交AB于E
求证：BF =
1FC 2证明：连结AF，则AF = BF
∴∠B =∠FAB ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∵∠BAC = 120o
∴∠B =∠C∠BAC =
o
1(180o－∠BAC) = 30o 2EBFA∴∠FAB = 30
∴∠FAC =∠BAC－∠FAB = 120o－30o =90o 又∵∠C = 30o
- 14 -
C
1FC 21∴BF =FC
2∴AF =
练习：已知，如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB
于M，DN⊥AC延长线于N 求证：BM = CN
A
ME BCN D 规律37. 有垂直时常构造垂直平分线.
例：已知，如图，在△ABC中，∠B =2∠C，AD⊥BC于D
求证：CD = AB＋BD 证明：（一）在CD上截取DE = DB，连结AE，则AB = AE
∴∠B =∠AEB ∵∠B = 2∠C A∴∠AEB = 2∠C
又∵∠AEB = ∠C＋∠EAC C∴∠C =∠EAC EDB
∴AE = CE
又∵CD = DE＋CE A∴CD = BD＋AB
（二）延长CB到F，使DF = DC，连CDBF=AC（过程略）
规律38.有中点时常构造垂直平分线.
例：已知，如图，在△ABC中，BC = 2AB, ∠ABC = 2∠C,BD = CD
求证：△ABC为直角三角形
证明：过D作DE⊥BC，交AC于E，连结BE，则BE = CE，
∴∠C =∠EBC ∵∠ABC = 2∠C ∴∠ABE =∠EBC
∵BC = 2AB，BD = CD
∴BD = AB
A在△ABE和△DBE中
EAB = BD
∠ABE =∠EBC CBE = BE DB ∴△ABE≌△DBE ∴∠BAE = ∠BDE ∵∠BDE = 90o ∴∠BAE = 90o
- 15 -
结AF则AF