部，此人正面对着照相机的镜头；有斜线的半圆代表脑后的头发；箭头表示头顶上的帽子，图11为俯视图，若两平面镜的夹角∠AOB=72o，设人头的中心恰好位于角平分线OC上，且照相机到人的距离远大于到平面镜的距离。 1、试在图11中标出P的所有像的方位示意图。
2、在方框中画出照片上得到的所有的像（分别用空白和斜线表示脸和头发，用箭头表示头顶上的帽子）。本题只要求画出示意图，但须力求准确。
图10
图11
A O B C P P C O A 解：本题的答案如图12、13所示。
图12
图13
A P B O 例4、五角楼是光学仪器中常用的一种元件，如图14所示。棱镜用玻璃制成，BC、CD两平面高度抛光，AB、DE两平面高度抛光后镀银。试证明：经BC面入射的光线，不管其方向如何，只要它能经历两次反射（在AB与DE面上），与之相应的由CD面出射的光线，必与入射光线垂直。
90o
F
A A 112.5o 45o E B
112.5o 112.5o
E B i3 i3 112.5o i2 i2 112.5o i1 D 90o γ1 C D i4 112.5o
C
图14
图15 6
γ4 解：如图15所示，以i表示入射角,i?表示反射角，r表示折射角，次序则以下标注明。光线自透明表面的a 点入射，在棱镜内反射两次，由CD面的e点出射。可以看得出，在DE面的b点；入射角为i?r?22.5o，反射角为i??i?r?22.5o。在四边形bEAC中，
21221?a?90o?i2?90o?r1?22.5o?67.5o?r1
而??360o?2?112.5o?a?1350?(67.5o?r)=67.5o?r
11于是，i??i?90o???22.5o?r
331在△cdb中∠cdb=180o
???2(r1?22.5o)?2(22.5o?r1)?900 ?(i?i)?(i?i)=180o
2233这就证明了：进入棱镜内的第一条光线ab总是与第三条光线ce互相垂直。
-270o-∠dec=90o-∠dec=i。设棱镜的折射率为n，根据折由于棱镜的C角是直角，r=360o
11射定律有sini1?nsinr1，sinr4?nsini4。?r1?i4,?r4?i1总是成立的，而与棱镜折射率的大小及入射角i的大小无关。只要光路符合上面的要求，由BC面的法线与CD面的法
1线垂直，又有i1?r4,?出射光线总是与入射光线垂直，即光线经过这种棱镜，有恒定的偏转角——90o。
例6、横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图16所示的形状，一束平行光垂直地射入平表面A上。试确定通过表面A进入的光全部从表面B射出的R/d的最小值。已知玻璃的折射为1.5。
RddA?ROA图16
BB图17
分析：如图17所示，从A外侧入射的光线在外侧圆界面上的入射角较从A内侧入射的光线入射角要大，最内侧的入射光在外侧圆界面上的入射角α最小。如果最内侧光在界面上恰好发生全反射，并且反射光线又刚好与内侧圆相切，则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上，而且在后续过程中都能够发生全反射，并且不与内侧圆相交。因此，抓住最内侧光线进行分析，使其满足相应条件即可。
解：当最内侧光的入射角α大于或等于反射临界角时，入射光线可全部从B表面射出而没
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有光线从其他地方透出。即要求sina?1，而sina?nR，所以R1?，即
R?dR?dn11R1。故?R???2 ????dn?1?d?minn?11.5?1点评：对全反射问题，掌握全反射产生的条件是基础，而具体分析临界条件即“边界光线”的表现是解决此类问题的关键。
例7、普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯A和包层B组成，B的折射率小于A的折射率，光纤的端面与圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A和包层B的分界面上发生多次全反射。现在利用普通光纤测量流体F的折射率。实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体F中。令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚在光纤入射端面的中心O。经端面折射进入光纤，在光纤中传播。由于O点出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为a0，如图18所示。最后光从另一端面出射进入流体F。在距出射端面h1处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏D，在D上出现一圆形光斑，测出其直径为d1，然后移动光屏D至距光纤出射端面h2处，再测出圆形光斑的直径d2，如图19所示。
（1）若已知A和B的折射率分别为nA与nB。求被测流体F的折射率nF的表达式。 （2）若nA、nB和a0均为未知量，如何通过进一步的实验以测出nF的值？
分析：光线在光纤中传播时，只有在纤芯A与包层B的分界面上发生全反射的光线才能射出光纤的端面，据此我们可以作出相应的光路图，根据光的折射定律及几何关系，最后可求出nF。
8
空气h2h1BBAFd1d2?0OAD图18
图19 D解：（1）由于光纤内所有光线都从轴上的O点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位于通过轴的纵剖面内，图20为纵面内的光路图。
设由O点发出的与轴的夹角为α的光线，射至A、B分界面的入射角为i，反射角也为i，该光线在光纤中多次反射时的入射角均为i，射至出射端面时的入射角为α。若该光线折射后的折射角为?，则由几何关系和折射定可得i?a?90o① nAsina?nFsin?②。当i大于全反射临界角ic时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强射向出射端面。而i?iC的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入B，反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了。因而能射向出射端面的光线的i的数值一定大于或等于ic，ic的值由下式决定：nAsiniC?nB③ 与iC对应的α值为?C?900?iC④
当a0?aC，即sina0?sinaC?cosiC?1?sin2iC?1?(或nsina?A0BoA?iF图20
i??nB2)时， nA22时，由O发出的光束中，只有a?aC的光线才满足i?iC的条件下，nA?nB才能射向端面，此时出射端面处α的最大值为amax?ac?900?iC⑤ 若a0?ac，即nsina?A022时，则由O发出的光线都能满足i?iC的条件，因而nA?nB都能射向端面，此时出射端面处α的最大值为amax?a0 ⑥ 端面处入射角α最大时，折射角θ也达最大值，设为?max， 由②式可知nFsin?max?nAsinamax⑦ 由⑥、⑦式可得，当a0?aC时，nF?h2h1BO0AOmaxFOmaxd1O1d2O2nAsina0⑧
sin?maxn?n⑨ sin?max2A2BD图21 DncosiC由③至⑦式可得，当a0?aC时，nF?A?sin?max9
?max的数值可由图21上的几何关系求得为sin?maxd2?d1 ⑩ 2??(d2?d1)/2?2?(h2?h1)22d2?d1?2(d2?d1)于是n的表达式应为n?nsin???(h?h)/???0??C? ??FFA212?2?（11）
22nF?nA?nB?d2?d1?2???(h2?h1)?2????0??C?（12）
(d2?d1)2122（2）可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得h? 、h? 、
?，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同。已知空气的折射率等于1，故有 d1?、d2当?0??C时，1?nsin?A0?(d2??d1?)/2?2?(h2??h1?)2??d1?)/2(d2（13）
当?0??C时1?22nA?nB?(d2??d1?)/2?2?(h2??h1?)2??d1?)/2(d2（14）
2将（11）（12）两式分别与（13）（14）相除，均得
nF???d1?d2d2?d?d2?d1?2???(h2?h1)?2??(d2??d1?)/2?2?(h2??h1?)2（15）此结果适用于?0为任何值的情况。
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