从棒射出的平行光束与主光轴成小角度?2，求?2/?1（此比值等于此玻璃棒的望远系统的视角放大率）。
分析: 首先我们知道对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处物点发出的入射光线为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，然后我们再运用正弦定理、折射定律及的小角度近似计算，即可得出最后结果。
i1PAi1r1R1C1ni1?r1C2R2F1 图25
B解：（1）对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图25所示，图中C为左端球面的球心。由正弦定理、折射定律和小角度近似得
1AF1?R1sinr1r11 ①即AF11②
??1???1?R1sin(i1?r1)i1?r1(i1/r1)n?1R1n?1光线PF射至另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心C2一
1定在端面顶点B的左方，C2B等于球面的半径R2，如图25所示。 仿照上面对左端球面上折射的关系可得
BF11③
?1?R2n?1又有BF?L?AF④，由②③④式并代入数值可得R2?5cm⑤
11即右端应为半径等于5cm的向外凸面球面。
（2）设从无限远处物点射入的平行光线用a、b表示，令a过C1，b过A，如图26所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点M，即为左端球面对此无限远物点成的像点。
现在求M点的位置。在?AC1M中
?bR1n?1C1?1A?1??1??1图26
F?2M C2R2?2BR1AMAM⑥ ???)sin(???1)sin?1sin(?1??121
AM又nsin???sin?⑦已知?、则有??均为小角度，111?11?与②式比较可知，1⑧，
?1(1?)nR1AM?AF1，即M位于过 垂直于主光轴的平面上。上面已知，玻璃棒为天文望远系统，
则凡是过M点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线。容易看出，从M射向C的光线将沿原方向射出，这也就是过M点的任意光线（包括光些a、b）从玻璃棒射
2出的平行光线的方向。此方向与主光轴的夹角即为?。2?2C1F1AF1?R1⑨②③
，由???1C2F1BF1?R2式可得
AF1?R1BF1?R2??RR1，则2?1?2⑩
?1R2R222
几何光学 §4球面反射和折射
4.1球面镜成像
（1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F（图1），这F点称为凹镜的焦点。一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F（图2），这F点称为凸镜的虚焦点。焦点F到镜面顶点O之间的距离叫做球面镜的焦距f。可以证明，球面镜焦距f等于球面半径R的一半，即f?R
2
（2）球面镜成像公式
根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。下面以凹镜为例来推导：（如图3所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S，由S发出的射向凹镜的光线镜面A点反射后与主轴交于S?点，半径CA为反射的法线，S?即S的像。根据反射定律，?SAC??S?AC，则CA为SAS?角A的平分线，根据角平分线的性质有
图1
图2 OFCASCS①
?AS?CS?OSCS②
?OS?CS?由为SA为近轴光线，所以AS??S?O，AS?SO，①式可改写为
②式中OS叫物距u，OS?叫像距v，设凹镜焦距为f，则CS?OS?OC?u?2f，
CS??OC?OS??2f??代入①式u?u?2f，化简即可。
?2f??这个公式同样适用于凸镜。使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f取正，凸镜焦距f取负；实物u取正，虚物u取负；实像v为正，虚像v为负。
111?? u?f上式是球面镜成像公式。它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。在成像中，像长 和物长h之比为成
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m?像放大率，用m表示，
h???hu
由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。
表Ⅰ 凹镜成像情况
物的性质 实物 物的位置 像的位置 同侧f 同侧f～2f 同侧2f 同侧f～2f 像的大小 缩小 缩小 等大 放大 放大 放大 缩小 像的正倒 倒 倒 倒 倒 正 正 像的虚实 实 实 实 实 虚 实 ? ?～2f 2f 2f～f f f～0 ? 异侧?～0 异侧0～f 虚物 ? 表Ⅱ 凸镜成像情况
物的性质 实物 虚 物 物的位置 f～? 像的位置 同侧0～f 同侧f～2f 同侧2f 同侧?～2f 像的大小 缩小 缩小 等大 放大 放大 像的正倒 正 倒 倒 倒 正 像的性质 虚 虚 虚 虚 实 ?～2f 2f f～2f f f～0 ? 异侧?～0 （3）球面镜多次成像
球面镜多次成像原则：只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。
如图4所示，半径为R的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O1 、 O2 相距2.6R，现于主轴上距凹镜顶点O1为0.6R处放一点光源S。设点光源的像只能直接射到凹镜上，问S经凹镜和凸镜各反射一次后所成的像在何处？
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O1SS2图4 O2S1112111????1R。可解得??3R f1，0.6R?1S在凹镜中成像，u1?0.6R，f1?R，u1?112O1O2?2.6R。根据题意：所以凹镜反射的光线尚未成像便已又被凸镜反射，此时可将凹
镜原来要成像S1作为凸镜的虚物来处理，u2?(2.6R?3R)??0.4R，
Rf2??
2111??u2?2f2，
位置上。
?112???0.4R?2R，可解得?2?2R，说明凸镜所成的像S2和S在同一
4.2球面折射成像 （1）球面折射成像公式 （a）单介质球面折射成像
1i??SuOrn?CvS?图5 如图5所示，如果球面左、右方的折射率分别为1和n，行以
①，因为
S?为S的像。因为i、r均很小，
sinii??nsinrr
i????，r????，代入①式可有???r?n(???)②
对近轴光线来说，α、θ、β同样很小，所以有?代入②式可得
?x，xx??，??
?Ru1nn?1
??u?R当u??时的v是焦距f，所以f?R?n
n?125