几何光学 §3光的折射
3.1多层介质折射
如图1：多层介质折射率分别为n1,n2,n3?则由折射定律得：
i1i2i3n1n2n3n1sini1?n2sini2???nksinik
3.2平面折射的视深
nR图1
如图2，在水中深度为h处有一发光点Q，作OQ垂直于水面，求射出水面折射线的延长线
4与OQ交点Q?的深度h?与入射角i的关系。设水相对于空气的折射率为n?，由折射定
3律得nsini?sini?。令OM=x，则x?d?tgi?d??tgi?，于是d??d?tgi?d1?(nsini)
2tgi?ncosi上式表明，由Q发出的不同光线，折射后的延长线不再交于同一点，但对于那些接近法线
d。这时与入射角i无关，即折
d?n13射线的延长线近似地交于同一点Q?，其深度是原光点深度的?。 n4方向的光线，i?0，则sin2i?0，cosi?1于是d??
d d′ Q′ x O i γ M P M Q 图2 S2 S3 S′ O2 O1 S S1 Q N 图3
如图3所示，MN反射率较低的一个表面，PQ是背面镀层反射率很高的另一个表面，通常照镜子靠镀银层反射成像，在一定条件下能够看到四个像。若人离镜距离l，玻璃折射率n，玻璃厚度d，求MN成的两个像间的距离。
图中S为物点，S?是经MN反射的像，若S1,S2,S3依次表示MN面折射，PQ面反射和MN 面再折射成像，由视深公式得O1S1?nO1S，O2S2?O2S1?O1S1?d，O1S2?n?O1S3，
O1S3?2d。 O1O2?O2S2d?nl?d2d，故两像间距离为
O1S3?O1S????1?nnnn11
3.3棱镜的折射与色散
入射光线经棱镜折射后改变了方向，出射光线与入射光线之间的夹角称为偏向角，由图4
??i2?)?i1?i1???。其中sini1?nsini2，sini2??nsini1?①的几何关系知??(i1?i2)?(i1??i1?即 δ＝（n－1）α 当i1，α很小时，i1?ni2,ni2
D δ A S′ i′1 G
δ h S L 图5
i1 B E i2 i′2 F 折射率 δ 图4
C
厚度不计顶角α很小的三棱镜称之为光楔，对近轴光线而言，δ与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样的角度δ，所以作光楔折射成像光路图时可画成一使光线产生偏折角的薄平板，图5。设物点S离光楔L则像点S?在S的正上方。h?l??(n-1)? lh=lδ=
（n-1）αl。②当棱镜中折射光线相对于顶角α对称成等腰三角形时，i1?i?，i2?i2?。
??nsinsini1?sini1?，???????2arcsin(nsin)??或sin?nsin这为棱镜的最小
2222偏向角δ，此式可用来测棱镜的折射率。
由于同一种介质对不同色光有不同的折射率，各种色光的偏折角不同，所以白光经过棱镜折射后产生色散现象。虹和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成的色散现象。阳光在水滴上经两次折射和一次反射如图6。形成内紫外红的虹；阳光经小滴两次折射和两次反射如图7，形成内红外紫的霓。由于霓经过一次反射，因此光线较弱，不容易看到。
紫
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红 阳光 红 紫 阳光 图6 图7 3.4费马原理
费马原理指出，光在指定的两点之间传播，实际的光程总是为最大或保持恒定，这里的光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。
费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理，从费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律。例如光的直线传播、反射定律，折射定律，都可以从光程极小推出。如果反射面是一个旋转椭球面，而点光源置于其一个焦点上，所有反射光线都经过另一个焦点，所有反射光线都经过另一个焦点，便是光程恒定的一个例子。此外，透镜对光线的折射作用，也是很典型的。
一平凸透镜的折射率为n，放置在空气中，透镜面孔的半径为R。在透镜外主光轴上取一点F?，OF??f?（图8）。当平行光沿主光轴入射时，为使所有光线均会聚于F?点。试问： （1）透镜凸面应取什么形状？ （2）透镜顶点A与点O相距多少？ （3）对透镜的孔径R有何限制？
解：根据费马原理，以平行光入射并会聚于F?的所有光线应有相等的光程，即最边缘的光线BF?与任一条光线NMF?的光程应相等。由此可以确定凸面的方程。 （1）取o?xy坐标系如图，由光线BF?和NMF?的等光程性，得
图8
y B M（x，y） x F′ R n A f′ nx?(f??x)2?y2?f?2?R2
整理后，得到任一点M（x，y）的坐标x，y应满足的方程为
22222??????nf?R?f(nf?f?R) 22??y?(n?1)?x???n2?1n2?1??22222????nf?R?fnf?f?R令x?，a?，则上式成为
022n?1n?1(n2?1)(x?x0)2?y2?a2这是双曲线的方程，由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲
面。
（2）透镜顶点A的位置 应满足(n2?1)(xA?x0)2?a2
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或者x?x?AOan?12?f?2?R2?f?，可见，对于一定的n和f?，x由R决定。
An?1（3）因点F?在透镜外，即x?f?，这是对R的限制条件，有
A即要求R?f?2?R2?f??f?
n?1n2?1f?
n?1f?时，有：xA?2讨论：在极限情形，即 R?f?2?(n2?1)f?2?f??f?
n?12nf??f?即点A与点F?重合。又因x??f?，a=0。故透镜凸面的双曲线方程变为O2n?1(n2?1)(x?f?)2?y2?0即y??n2?1(x?f?)
双曲线退化成过点F?的两条直线，即这时透镜的凸面变成以F?为顶点的圆锥面，如图9所示。考虑任意一条入射光线MN，由折射定律有nsin??sin?t，由几何关系sin??cos??R N y M θt θ Φ 1f??R22n
A F′ x f′ 图9
故sin?t??1 ， ???
tf?2?R22nf?即所有入射的平行光线折射后均沿圆锥面到达点F?，此时的角θ就是全反射的临界角。
例题讲解：
例1、半径为R的半圆柱形玻璃砖，横截面如图10所示。O为圆心。已知玻璃的折射率为2。当光由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角为45°，一束与MN平面成450的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上，经玻璃折射后，有部分光能从MN平面上射出。求能从MN平面射出的光束的宽度为多少？
分析：如图11所示。进入玻璃中的光线①垂直半球面，沿半径方向直达球心，且入射角等于临界角，恰好在O点发生全反射，光线①左侧的光线经球面折射后，射在MN上的入射角都大于临界角，在MN上发生全反射，不能从MN射出，光线①右侧一直到与球面正好相切的光线③范围上的光线经光球面折射后，在MN面上的入射角均小于临界角，都能从MN面上射出，它们在MN上的出射宽度即是所要求的。
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45?RM图10
ON解：图11中，BO为沿半径方向入射的光线，在O点正好发生全反射，入射光线③在C点与球面相切，此时入射角i?90?，折射角为r，则有sini?nsinr，sinr?sini?n2，2即r?45?。这表示在C点折射的光线将垂直MN射出，与MN相交于E点。MN面上OE即是出射光的宽度。OE?Rsinr?
45?1○ 2○ 3○ 2
R2BAiRrO图11
CM45?ONMiEiOFNCrArB图13
MEN图12
讨论：如果平行光束是以45°角从空气射到半圆柱的平面表面上，如图12所示，此时从半圆柱面上出射的光束范围是多大？见图13所示，由折身定律sin45??2sinr，得
sinr?1，
。考虑在E点发生折射的折r?30?，即所有折射光线与垂直线的夹角均为30°
2射光线EA，如果此光线刚好在A点发生全反射，则有nsin?EAO?sin90?，而n?即有?EAO?45?，因EA与OB平行，所以?EAO??AOB?45?，所以
2，
??180??45??60??75?，即射向A点左边MA区域的折射光（??45?）因在半圆柱
面上的入射角均大于45°的临界角而发生全反射不能从半圆柱面上射出，而A点右边的光线（??45?）则由小于临界角而能射出，随着φ角的增大，当?FCO?45?时，将在C点再一次达到临界角而发生全反射，此时?FOC?15? 故知能够从半圆柱球面上出射的光束范围限制在AC区域上，对应的角度为75????165?。
点评：正确作出光路图并抓住对边界光线的分析是解答问题的两个重要方向。
例2、给定一厚度为d的平行平板，其折射率按下式变化n(x)?x
1?rn0一束光在O点由空气垂直入射平板，并在A点以角α出射（图14）。求A点的折射率nA，
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