（b）双介质球面折射成像
i2i2?O图6 ??如图6所示，球形折射面两侧的介质折射率分别n1和n2，C是球心，O是顶点，球面曲率半径为R，S是物点，S?是像点，对于近轴光线
，
n1i1?n2i2i1????，
i2????，
??AA0，Annn?n??0，??0，联立上式解得1?2?21
Ruvruv这是球面折射的成像公式，式中u、υ的符号同样遵循“实正虚负”的法则，对于R；则当球心C在出射光的一个侧，（凸面朝向入射光）时为正，当球心C在入射光的一侧（凹面朝向入射光）时为负。
若引入焦点和焦距概念，则当入射光为平行于主轴的平行光（u=∝）时，出射光（或其反向延长线）的交点即为第二焦点，（也称像方焦点），此时像距即是第二焦距2，有
ff2?n2Rn2?n1。当出射光为平行光时，入射光（或其延长线）的交点即第一焦点（即物方
焦点），这时物距即为第一焦距f，有f?11nR1，将f、f代入成像公式改写成
12n?n21f1f?2?1 uu反射定律可以看成折射定律在n2??n1时的物倒，因此，球面镜的反射成像公式可以从球
面镜折射成像公式中得到，由于反射光的行进方向逆转，像距υ和球面半径R的正负规定应与折射时相反，在上述公式中令n反射成像公式
2??n1，????，R??R，即可得到球面镜
112，对于凹面镜R，对于凸面镜，f?f???R?0，R?0122u?Rf1?f2?
R，厚透镜成像。 226
（c）厚透镜折射成像
uOr2Ah1P?P??O?r1u??t 图7
u?设构成厚透镜材料的折射率为n，物方介质的折射率为n，像方介质的折射率为n，前后
12两边球面的曲率半径依次为
r1和r2，透镜的厚度为oo??t，当物点在主轴上的P点时，
?O?P，首先考虑第一个球面AOB对入
物距u?OP，现在来计算像点P?的像距。
S?射光的折射，这时假定第二个球面AOB不存在，并认为球AOB右边，都为折射率等于n的介质充满，在这种情况下，P点的像将成在线在第二个球面的折射，对于这个球面来说，
P??处，其像距???OP??，然后再考虑光P??便是虚物。因此对于球面AOB，物像公
式为
nn?nn2n1n?n1n ，对于球面AOB，物像公式为2??2??vur1vu?tr2这样就可以用二个球面的成像法来求得透镜成像的像距u。 （2）光焦度
折射成像右端仅与介质的折射率及球面的曲率半径有关，因而对于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量，我们定义此量为光焦度，用φ表示：??n??n r它表征单折射球面对入射平行光束的屈折本领。φ的数值越大，平行光束折得越厉害；φ＞0时，屈折是会聚性的；φ＜0时，屈折是发散性的。φ=0时，对应于r??，即为平面折射。
这时，沿轴平行光束经折射后仍是沿轴平行光束，不出现屈折现象。光焦度的单位是[米-1]，或称[屈光度]，将其数值乘以100，就是通常所说的眼镜片的“度数”。
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（3）镀银透镜与面镜的等效
iC2u60cm 图8
i?hiCCB图9
i?Ah?h30cm 有一薄平凸透镜，凸面曲率半径R=30cm，已知在近轴光线时：若将此透镜的平面镀银，其作用等于一个焦距是30cm的凹面镜；若将此透镜的凸面镀银，其作用也等同于一个凹面镜，其其等效焦距。当透镜的平面镀银时，其作用等同于焦距是30cm的凹面镜，即这时透镜等效面曲率半径为60cm的球面反射镜。由凹面镜的成像性质，当物点置于等效曲率中心时任一近轴光线经凸面折射，再经平面反射后将沿原路返回，再经凸面折射后，光线过点，物像重合。如图8所示。i?ni?，i?u?i?，n?1?uhh，
。依题意，u?，i?i?3060故n?1.5。凸面镀银，光路如图9所示。关键寻找等效曲率中心，通过凸面上任一点A作一垂直于球面指向曲率中心C的光线。此光线经平面折射后交至光轴于CB，令CBO?rRh?h?20cm。由光的可逆性原理知，CB是等效则ni?i?，i?，i??，得r?nrR凹面镜的曲率中心，f=10cm。
例题讲解：
例1、如图10所示，一个双凸薄透镜的两个球面的曲率半径均为r，透镜的折射率为n，考察由透镜后表面反射所形成的实像。试问物放于何处，可使反射像与物位于同一竖直平面内（不考虑多重反射）。
物像图10 解：从物点发出的光经透镜前表面（即左表面）反射后形成虚像，不合题意，无须考虑。 从物点发出的光经透镜前表面折射后，再经透镜后表面反射折回，又经前表面折射共三次成像，最后是实像，符合题意。利用球面折射成像公式和球面反射成像公式，结合物与像共面的要求。就可求解。
R球面反射的成像公式为：1?1?1，其中反射面的焦距为f?（R为球面半径），对凹
2uvf28
面镜，f取正值，对凸面镜，f取负值。 球面折射的成像公式为：
n1n21??(n1?n2)。当入射光从顶点射向球心时，R取正值，uvR当入射光从球心射向顶点时，R取负值。
如图11甲所示，当物点Q发出的光经透镜前表面折射后成像于Q，设物距为u，像距为v，
?n1n21??(n1?n2)vR 根据球面折射成像公式：u这里空气的折射率n1?1，透镜介质的折射率n2?n，入射光从顶点射向球心，R=r取正
1nn?1??r（1）这是第一次成像。 值，所以有uv Q
1nQ?n1Q1?u11nQ1(Q?)Q(Q?)Q?212uv图11甲
u1??v1图11乙
P2?图11丙
?P2?P1?对凸透镜的后表面来说，物点Q经透镜前表面折射所成的点Q?是它的物点，其物距u1??v（是虚物），经透镜后表面反射后成像于Q1，由球面反射?，像距为?v1（如图11乙所示）
1112112??????f2r，将前面数据代入得vv1r（2）这是第二次成像。 成像公式u1v1?又作为透镜前表面折射成像的物点Q2，其物距u2由透镜后表面反射成的像点Q1??v1?，像距为v2，（是虚物），再经过透镜前表面折射成像于Q2（见图11丙所示），再由球面折
射成像公式
n1n21，??(n1?n2)，这时入射光一侧折射率，折射光一侧折射率(是空气）
uvRn11 ??(1?n)u2v2?r入射光由球心射向顶点，故R值取负值。所以可写出
代入前面得到的关系可得?n1n?1（3）这是第三次成像，由（1）、（2）两式可解??u1v2r29
得1?n?3n?1（4），再把（4）式和（3）式相加，可得1?1?2(2n?1)（5）
uv1ruv2r?在同一竖直平面内，这就要求u2为使物点Q与像点Q2??v1代入（5）是可解得物距为
u?r2n?1
说明：由本题可见，观察反射像，调整物距，使反射像与物同在同一竖直平面内，测出物距P，根据上式就可利用已知的透镜折射率n求出透镜球面的半径r，或反过来由已知的球面半径r求出透镜的折射率n。
例2、显微镜物镜组中常配有如图12所示的透镜，它的表面是球面，左表面
S1的球心为C，
1半径为R1，右表面S2的球心为C2，半径为R2，透镜玻璃对于空气的折射率为n，两球心
R2间的距离为C1C2?n2、QC2?nR2。
。在使用时，被观察的物位于C1处，试证明
1、从物射向此透镜的光线，经透镜折射后，所有出射光线均相交于一点Q。
?C1C2?C1C2rS1图12
透镜主轴?iOS2图13
解：首先考虑S1面上的折射，由于物在球心处，全部入射光线无折射地通过S1面，所以对S2来说，物点就在C1处。再考虑到S2面上的折射。设入射光线与主轴的夹角为θ，入射点为P，入射角为i，折射角为r，折射线的延长线与主轴的交点为Q如图13，则由折射定律知
sinr?nsini，在?C1C2P中应用正弦定理得
C1C2C2P ?sinisin?已知
C1C2?R2/nRR2?2isin?，sin??nsini?sinr。所以r?? n 由此得 sin设CP与主轴的夹角为α，则有????i?r?i
显然，θ≠0时，r＜α，因此出射线与主轴相交之点Q必在透镜左方。
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