【备战2013高考数学专题讲座】
第18讲：高频考点分析之命题、逻辑推理和程序框图探讨
江苏泰州锦元数学工作室 编辑
1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。
结合中学数学的知识，高考中命题、逻辑推理和程序框图问题主要有以下几种： 1. 四种命题的判定； 2. 真假命题的判定； 3. 充分必要条件的判定； 4. 逻辑推理； 5. 程序框图。
结合2012年全国各地高考的实例，我们从以上五方面探讨命题和简易逻辑问题的求解。
一、四种命题的判定：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2012年安徽省文5分）命题“存在实数x,，使x?1”的否定是【 】
(A) 对任意实数x, 都有x?1 (B) 不存在实数x，使x?1
(C) 对任意实数x, 都有x?1 (D) 存在实数x，使x?1 【答案】C。 【考点】否命题。
【解析】如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题。因此，命题“存在实数x,，使x?1”的否定是：对任意实数x, 都有x?1。故选C。 例2. （2012年湖北省理5分）命题“?x0?CRQ,x0?Q”的否定是【 】
A ?x0?CRQ,x0?Q B?x0?CRQ,x0?Q C ?x0?CRQ,x0?Q D?x0?CRQ,x0?Q 【答案】D。
【考点】命题的否定。
【解析】根据特称命题“?x∈A，p（A）”的否定是“?x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案：
33333∵命题“?x0?CRQ,x0?Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题， ∴“?x0?CRQ,x0?Q”的否定是“?x0?CRQ,x0?Q”。故选D。
例3. （2012年湖北省文5分）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是【 】
A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 【答案】B。
【考点】命题的否定。
【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”。故选B。 例4. （2012年湖南省理5分）命题“若??A.若??333?4，则tan??1”的逆否命题是【 】 ，则tan??1
?4，则tan??1 B. 若???4C. 若tan??1，则??【答案】C 。 【考点】四种命题。
?4 D. 若tan??1，则???4
【解析】因为“若p，则q”的逆否命题为“若?p，则?q”，所以 “若???4，则atn?1?”的逆否命题是 “若
tan??1，则???4”。 故选C。
例5. （2012年辽宁省理5分）已知命题p：?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)≥0，则?p是【 】 (A) ?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)≤0 【版权归锦元数学工作室，不得转载】 (B) ?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)≤0 (C) ?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)<0 (D) ?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)<0 【答案】C。
【考点】含有量词的命题的否定。
【解析】命题p为全称命题，所以其否定?p应是特称命题，
所以(f(x2)?f(x1))(x2?x1)≥0否定为(f(x2)?f(x1))(x2?x1)<0。故选C。
例6. （2012年重庆市文5分）命题“若p则q”的逆命题是【 】 （A）若q则p （B）若?p则? q （C）若?q则?p （D）若p则?q 【答案】A 。 【考点】四种命题。
【分析】将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，从而可得解答：
命题“若p则q”的逆命题是：若q则p。故选A 。
例7. （2012年陕西省理12分）（1）如图，证明命题“a是平面?内的一条直线，b是?外的一条直线（b不垂直于?），c是直线b在?上的投影，若a?b，则a?c”为真. （2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）
【答案】解：（1）证明：如图，过直线b上任一点作平面?的垂线n，
????a设直线a,b,c,n的方向向量分别是,b,c,n，
???则b,c,n共面。
根据平面向量基本定理，存在实数?,?使得
??????????????c??b??n，则a?c?a?(?b??n)??(a?b)??(a?n)。
??∵a?b，∴a?b?0。
??又∵aü?，n??，∴a?n?0。 ??∴a?c?0，从而a?c。
（2）逆命题：a是平面?内一条直线，b是?外的一条直线（b不垂直于?），c是直线
b在?上的投影，若a?c，则a?b。逆命题为真命题。
【考点】向量语言表述线面的垂直、平行关系，命题。
【解析】（1）作出辅助线，在直线上构造对应的方向向量：过直线b上任一点作平面?的垂线n，要证两条直线垂直，只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0，根据向量的运算法则得到结果。
另解： 如图，记c?b?A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO??，垂足为
O，则O?c。
∵PO??，aü?，∴直线PO?a。 又∵a?b，bü平面PAO，PO?b?P， ∴a?平面PAO。
又∵cü平面PAO，∴a?c。
（2）把所给的命题的题设和结论交换位置，得到原命题的逆命题，判断出逆命题的正确性。 如上图，记c?b?A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO??，垂足为O，
则O?c。
∵PO??，aü?，∴直线PO?a。 又∵a?c，PO?c?O，∴a?平面PAO。 又∵bü平面PAO，∴a?b。
二、真假命题的判定：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2012年全国课标卷理5分）下面是关于复数z?2的四个命题：其中的真命题为【 】 ?1?i2 p1:z?2 p2:z?2i p3:z的共轭复数为1?i p4:z的虚部为?1
(A)p2,p3 (B) p1,p2 (C)p?,p? (D)p?,p?
【答案】C。
【考点】真假命题，复数的概念。 【解析】∵z?22(?1?i)???1?i，z??1?i(?1?i)(?1?i)??1????1?22=2，z2???1?i?=2i，
2 ?1?i的共轭复数是?1?i，
2 ∴p1:z?2不是真命题；p2:z?2i是真命题；p3:z的共轭复数为1?i不是真命题；p4:z的
虚部为?1是真命题。故选C。
例2. （2012年四川省理5分）下列命题正确的是【 】 A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C。
【考点】立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质。 【解析】采用排除法：
若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所
以A错；
一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错； 若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错； 故选项C正确。故选C。
例3. （2012年山东省文5分）设命题p：函数y?sin2x的最小正周期为象关于直线x??；命题q：函数y?cosx的图 2?2对称.则下列判断正确的是【 】
A p为真 B ?q为假 C p?q为假 D p?q为真 【答案】C。
【考点】真假命题的判定，三角函数的周期和对称性。
2?=?，∴命题p为假。 2 ∵函数y?cosx的图象的对称轴为x=k??k?Z?，∴命题q为假。
【解析】∵函数y?sin2x的最小正周期为 ∴p?q为假。故选C。
例4. （2012年江西省理5分）下列命题中，假命题为【 】 A．存在四边相等的四边形不是正方形 ．
B．z1,z2?C,z1?z2为实数的充分必要条件是z1,z2互为共轭复数 C．若x,y?R，且x?y?2,则x,y至少有一个大于1 D．对于任意n?N,Cn?Cn???Cn都是偶数 【答案】B。
【考点】真假命题的判定，特称命题和全称命题，充要条件，共轭复数，不等式的基本性质，二项式定理。 【解析】对于A项，通过特例判断：例如菱形，满足四边相等的四边形不是正方形，所以A为真命题；
对于B项，通过特例判断：令z1??1?mi,z2?9?mi?m?R?,显然z1?z2?8?R，但z1,z2不
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