例10. （2012年陕西省理5分） 观察下列不等式【版权归锦元数学工作室，不得转载】
1?13? 2221151?2?3?，
23311171?2?2?2?
2344……
照此规律，第五个不等式为 ▲ . ．．．【答案】1?1111111?2?2?2?2?。 2234566【考点】归纳规律。
【解析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方；右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式：?i?0n1?n?1?<2<2n?1。 n?1令n=5，即可得出第五个不等式?i?051?n?1?211，即1?61111111?2?2?2?2?。 2234566例11. （2012年北京市文13分）设A是如下形式的2行3列的数表，
a d b e c f 满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0。记ri（A）为A的第i行各数之和（i=1,2），c j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。 （1）对如下数表A，求k（A）的值
1 0.1 （2）设数表A形如
1 d 其中－1≤d≤0.求k（A）的最大值；
（3）对所有满足性质P的2行3列的数表A ，求k(A)的最大值。
【答案】解：（1）由题意可知r1?A?=1.2，r2?A?=?1.2，c1?A?=1.1，c2?A?=0.7，c3?A?=?1.8，
1 d －1－2d －1 1 －0.3 －0.8 －1 ∴K?A??0.7。
r2?A???1?2d， c1?A??c2?A??1?d， c3?A???2?2d （2）r1?A??1?2d，∵－1≤d≤0，
∴r1?A?=r2?A??1?d?0， c3?A??1?d?0。 ∴k?A?=c1?A??c2?A??1?d?1。 ∴当d=0时，k（A）取得最大值1。 （3）任给满足性质P的数表A（如下所示）
a d b e c f 任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍
满足性质P，并且k（A）=k（A*）
因此，不防设r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，
由k（A）的定义知，k（A）≤r1（A），k（A）≤c1（A），k（A）≤c2（A）， ∴3k?A??r1?A??c1?A??c2?A???a?b?c???a?d???b?e?
??a?b?c?d?e?f???a?b?f??a?b?f?3
∴k（A）≤1
由（2）可知，存在满足性质P的数表A使k（A）=1，故k（A）的最大值为1。
【考点】逻辑推理。
【解析】（1）根据ri（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），c j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可即为所求。
（2）k（A）的定义可求出k（A）=1+d，然后根据d的取值范围可求出所求。
（3）任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足
性质P，并且k（A）=k（A*）。因此，不防设r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，然后利用不等式的性质可知3k（A）≤r1（A）+c1（A）+c2（A），从而求出k（A）的最大值。
例12. （2012年上海市理18分）对于数集X?{?1,x1,x2,?,xn}，其中0?x1?x2???xn，n?2，定
??????????????义向量集Y?{a|a?(s,t),s?X,t?X}. 若对于任意a1?Y，存在a2?Y，使得a1?a2?0，则称X具有性质
P. 例如X?{?1,1,2}具有性质P.
（1）若x＞2，且{?1,1,2,x}，求x的值；（4分）
（2）若X具有性质P，求证：1?X，且当xn＞1时，x1=1；（6分）
（3）若X具有性质P，且x1=1，x2?q（q为常数），求有穷数列x1,x2,?,xn的通项公式.（8分）
??????【答案】解：（1）选取a1?(x,2)，则Y中与a1垂直的元素必有形式(?1,b)。
∴x=2b，从而x=4。
???????????? （2）证明：取a1?(x1,x1)?Y，设a2?(s,t)?Y满足a1?a2?0。
由(s?t)x1?0得s?t?0，∴s、t异号。
∵－1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为－1，另一为1。
故1?X。
假设xk?1，其中1?k?n，则0?x1?1?xn。
????????????选取a1?(x1,xn)?Y，并设a2?(s,t)?Y满足a1?a2?0，即sx1?txn?0。
则s、t异号，从而s、t之中恰有一个为－1。 若s=－1，则x1?txn?t?x1，矛盾； 若t=－1，则xn?sx1?s?xn，矛盾. ∴x1=1。
（3）猜测xi?qi?1，i=1, 2, …, n。
记Ak?{?1,1,x2,?,xk}，k=2, 3, …, n。 先证明：若Ak?1具有性质P，则Ak也具有性质P。
???????????? 任取a1?(s,t)，s、t?Ak.当s、t中出现－1时，显然有a2满足a1?a2?0。
当s??1且t??1时，s、t≥1。
∵Ak?1具有性质P，∴有a2?(s1,t1)，s1、t1?Ak?1，使得a1?a2?0。
从而s1和t1中有一个是－1，不妨设s1=－1， 假设t1?Ak?1且t1?Ak，则t1?xk?1。
由(s,t)?(?1,xk?1)?0，得s?txk?1?xk?1，与s?Ak矛盾。
?????????∴t1?Ak，从而Ak也具有性质P。 现用数学归纳法证明：xi?q当n=2时，结论显然成立。
假设n?k时，Ak?{?1,1,x2,?,xk}有性质P，则xi?qi?1i?1，i=1, 2, …, n。
，i=1, 2, …, k；
则当n?k+1时，若Ak?1?{?1,1,x2,?,xk,xk?1}有性质P，则Ak?{?1,1,x2,?,xk} 也有性质P，所以Ak?1?{?1,1,q,?,qk?1,xk?1}。
???????????? 取a1?(xk?1,q)，并设a2?(s,t)满足a1?a2?0，即xk?1s?qt?0。
由此可得s与t中有且只有一个为－1。
若t??1，则s?1，所以xk?1? ∴s??1，xk?1?qt?q?q 综上所述，xi?qi?1k?1q?q，这不可能； s?qk，又xk?1?qk?1，所以xk?1?qk。
xi?qi?1，i=1, 2, …, n。
【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。 【解析】（1）根据题设直接求解。（2）用反证法给予证明。
（3）根据题设，先用反证法证明：若Ak?1具有性质P，则Ak也具有性质P，再用数学归纳法证明猜测xi?qi?1，i=1, 2, …, n。
例13. （2012年北京市理13分）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。
对于A∈S(m，n)，记Ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）； 记K(A)为∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。 （1）对如下数表A，求K?A?的值；
1 0.1 （2）设数表A∈S（2,3）形如
1 a 1 b c －1 1 －0.3 －0.8 －1 求K?A?的最大值；
（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K?A?的最大值。
【答案】解：（1）由题意可知r1?A?=1.2，r2?A?=?1.2，c1?A?=1.1，c2?A?=0.7，c3?A?=?1.8， ∴K?A??0.7。
（2）先用反证法证明K?A??1：
若K?A?>1，则C1?A?=a?1>1，
???1
a?1>1a?11????同理可知0 易知当a=b=0时，K?A?=1存在。 ∴K?A?的最大值为1。 （3）K?A?的最大值为 2t?1。 t+22t?1 j=1，2， ???，2t+1?： 首先构造满足K?A?=的A=?ai，j??i=1, 2；t+2t?1， a1,1=a1,2=???=a1，t=1，a1，t+1=a1，t+2=???=a1，2t+1=t+2t2?t?1a2,1=a2,2=???=a2，t=，a2，t+1=a2，t+2=???=a2，2t+1=?1。 t?t?2?经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 t2?t?1t+12t+12t+1>1?>，c1?A?=c2?A?=???=ct?A?=1?， r1?A?=r2?A?=t?t?2?t+2t+2t+1ct?1?A?=ct?2?A?=???=c2t+1?A?=1+t?12t+1。 =t+2t+2