下面证明
2t+1是最大值。 t+22t+1。 t+2若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得K?A?=x>由K?A?的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1
的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间?x， 2?中. 由于x>1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x?1。
设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g 考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负数，每 个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x?1（即每个负数均不超过。 1?x） 因此r1?A?=r1?A??t?1??t?1??1?x?=2t?1??t?1?x=x???2t?1??t+2?x?? 因此K?A?的最大值为 【考点】逻辑推理，反证法的应用。 【解析】（1）根据ri（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），c j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可即为所求。 （2）用反证法证明。 （3）先构造满足K?A?=。 2t+1。 t+22t?12t+1 j=1，2， ???，2t+1?，用反证法证明的A=?ai，j??i=1, 2；是 t+2t+2最大值。【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例14. （2012年湖北省理14分）（Ⅰ）已知函数f?x?=rx-x+?1-r??x>0?，其中r为有理数，且0 r求f?x?的最小值； （II）试用（1）的结果证明如下命题：设a1?0,a2?0,b1,b2为正有理数，若b1+b2=1，则a11a22?a1b1+a2b2； （III）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当?为正有理数时，有求导公式xbb??'=?x??-1 【答案】解：（Ⅰ）f?(x)?r?rxr?1?r(1?xr?1)，令f?(x)?0，解得x?1。 当0?x?1时，f?(x)?0，所以f(x)在(0,1)内是减函数；【版权归锦元数学工作室，不 当 x?1 时，f?(x)?0，所以f(x)在(1,??)内是增函数。 ∴函数f(x)在x?1处取得最小值f(1)?0。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x?(0,??)时，有f(x)?f(1)?0，即xr?rx?(1?r) ①。 若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2?a1b1?a2b2成立； 若a1，a2均不为0，又b1?b2?1，可得b2?1?b1。 于是在①中令x?a1aa，r?b1，可得(1)b1?b1?1?(1?b1)， a2a2a2即a1b1a21?b1?a1b1?a2(1?b1)，亦即a1b1a2b2?a1b1?a2b2。 综上，对a1?0,a2?0，b1，b2为正有理数且b1?b2?1，总有a1b1a2b2?a1b1?a2b2 ②。 （Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为： 设a1,a2,?,an为非负实数，b1,b2,?,bn为正有理数. bnb2若b1?b2???bn?1，则a1b1a2?an?a1b1?a2b2???anbn. ③ 用数学归纳法证明如下： （1）当n?1时，b1?1，有a1?a1，③成立。 （2）假设当n?k时，③成立，即若a1,a2,?,ak为非负实数，b1,b2,?,bk为正有理数， bkb2且b1?b2???bk?1，则a1b1a2?ak?a1b1?a2b2???akbk。 当n?k?1时，已知a1,a2,?,ak,ak?1为非负实数，b1,b2,?,bk,bk?1为正有理数， 且b1?b2???bk?bk?1?1，此时0?bk?1?1，即1?bk?1?0。 ∴aa?aa∵ b11?bk?11b11b22bkkbk?1k?1?(aa?a)ab11b22bkkbk?1k?1=(ab11?bk?11ab21?bk?12?abk1?bk?11?bk?1k)bk?1。 ak?1bkb1b2?????1，由归纳假设可得 1?bk?11?bk?11?bk?1aab21?bk?12?abk1?bk?1k?a1?ab?a2b2???akbkbkb1b2， ?11?a2????ak?1?bk?11?bk?11?bk?11?bk?11?bk?1bk?1ak?1。 bkbk?1b2?akak?1∴a1b1a2?ab?a2b2???akbk???11?1?bk?1??又∵(1?bk?1)?bk?1?1，由②得 ?a1b1?a2b2???akbk???1?bk?1??1?bk?1bk?1ak?1?a1b1?a2b2???akbk?(1?bk?1)?ak?1bk?1 1?bk?1?a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1， bkbk?1b2?akak?1?a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1. ∴a1b1a2故当n?k?1时，③成立。 由（1）（2）可知，对一切正整数n，所推广的命题成立， 【考点】利用导数求函数的最值，数学归纳法的应用。 【解析】（Ⅰ）应用导数求函数的最值。 （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，分a1，a2中有一个为0和a1，a2均不为0讨论即可。 （Ⅲ）应用数学归纳法证明。 五、程序框图： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2012年全国课标卷理5分）如果执行下边的程序框图，输入正整数N(N?2)和实数a1,a2,...,an，输出A,B，则【 】 (A)A?B为a1,a2,...,an的和 (B)A?B为a1,a2,...,an的算术平均数 2(C)A和B分别是a1,a2,...,an中最大的数和最小的数 (D)A和B分别是a1,a2,...,an中最小的数和最大的数 【答案】C。 【考点】程序框图的结构。 【解析】根据程序框图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是：A和 B分别是a1,a2,...,an中最大的数和最小的数。故选C。 例2. （2012年北京市理5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为【 】 A. 2 B .4 C.8 D. 16 【答案】C。 【考点】程序框图。 【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，程序的运行过程中各变量值变化如下表： 循环前 第一圈 第二圈 第三圈 第四圈 是否继续循环 是 是 是 否 S 1 2 4 8 输出8 k 0 1 2 3 ∴最终输出结果k=4。故选C。 例3. （2012年天津市理5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为?25时，输出x的值为【 】 （A）?1 （Ｂ）1 （Ｃ）3 （Ｄ）9 【答案】C。 【考点】程序框图。 【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表： 是否继续循环 x 循环前 －25 第一圈 是 4 第二圈 是 1 第三圈 否 输出3 ∴最终输出结果x?2?1+1=3。故选C。【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例4. （2012年天津市文5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为【（A）8 （B）18 （C）26 （D）80 【答案】C。 【考点】程序框图。 】