BE4?。 BF35CF4316165DHDH3 ∴???DH?； ???GC??DG?7??；
544GCGC4333DG3 ∴这些三角形相似的两边长之比
CI?DH?7CI?54?3?CI?13?BI?7?13?1； 742221BI32219?2??BJ??AJ?7??； BJBJ43339AKAK319199DK3???AK??DK?7??；?4??DL?3。 194AJ444DLDL43 ∴经过7次碰撞，到达与点E成轴对称的点L处，根据正方形的对称性，再经过7次碰撞，到达点E，共14次碰撞。故选A。
例2. （2012年全国大纲卷文5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，
1动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。 AE?BF?，3当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为【 】 A 8 B 6 C 4 D 3 【答案】B。
【考点】反射原理，正方形的性质，三角形相似的判定和性质。
【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到E点时，需要碰撞6次即可。
也可以通过三角形相似的相似比求解：如图，
为便是于计算，将正方形ABCD的边长扩大3倍，这样边长为7，AE?BF?1，BE?CF?2。
BE2?。 BF1GK32331DHDH2 ∴???DH?1； ???FK??DG?3?1??；
1DG1FKFK12222 ∴这些三角形相似的两边长之比
∴经过3次碰撞，到达与点E成轴对称的点H处，根据正方形的对称性，再经过3次碰撞，到达点E，共6次碰撞。故选B。
例3. （2012年江西省理5分）观察下列各式：a?b?1,a?b?3,a?b?4,a?b?7,a?b?11,?则a?b?【 】
A．28 B．76 C．123 D．199 【答案】C。
【考点】归纳推理的思想方法。
【解析】观察各等式的右边,它们分别为1，3，4，7，11，…，发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123,…，故a?b?123。故选C。 nπ
例4. （2012年福建省文5分）数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2 012等于【 】
2
A．1006 B．2012 C．503 D．0 【答案】A。
【考点】规律探索题。
π3π
【解析】寻找规律：a1＝1cos＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝3cos＝0，a4＝4cos2π＝4；
225π7π8π
a5＝5cos＝0，a6＝6cos3π＝－6，a7＝7cos＝0，a8＝8cos＝8；
222
······
10101010223344559，??,4r+1，r?N?。 ∴该数列每四项的和ak+ak+1+ak+2+ak+3=2k=1,5，∵2012÷4=503，∴S2 012＝2×503＝1006。故选A。
??（x?m?3）,g?x??2x?2，若同时满足条件： 例5. （2012年北京市理5分）已知f?x??m(x?2m)①?x?R，f?x?＜0或g?x?＜0，②?x?(-?, -4), f?x??g?x?＜0，
则m的取值范围是 ▲ 【答案】??4, ?2?。【版权归锦元数学工作室，不得转载】 【考点】简易逻辑，函数的性质。
【解析】由g?x??2x?2<0得x<1。
∵条件①?x?R，f?x?＜0或g?x?＜0，∴当x?1时，f?x?＜0。 当m=0时，f?x?=0，不能做到f?x?在x?1时，f?x?＜0，所以舍去。
∵f?x?作为二次函数开口只能向下，∴m<0，且此时两个根为x1=2m，x2=?m?3。
?m<0?m<0?1?? 为保证条件①成立，必须?x1=2m<1??m
2?x=?m?3<1??2??m>?4 又由条件②?x?(-?, -4), f?x??g?x?＜0的限制，可分析得出x?(-?, -4)时，f?x?恒负。 ∴就需要在这个范围内有得正数的可能，即－4应该比x1，x2两根中小的那个大。 由2m=?m?3得m=?1，
∴当m???1, 0?时，?m?3
当m???4, ?1?时，2m
例6. （2012年湖北省文5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3， 6,10，…记为数列?an?，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列?bn?，可以推测：
（Ⅰ）b2012是数列?an?中的第 ▲ 项； （Ⅱ）b2k?1 = ▲ 。（用k表示）
【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）【考点】归纳规律。
5k?5k?1?2。
【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为an?n(n?1)，写出其若干项有：21,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110。
故b1?a4,b2?a5,b3?a9,b4?a10,b5?a14,b6?a15。 从而由上述规律可猜想：b2k?a5k?5k(5k?1)（k为正整数）， 2(5k?1)(5k?1?1)5k(5k?1)。 b2k?1?a5k?1??22故b2012?a2?1006?a5?1006?a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项。
例7. （2012年湖南省理5分）设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入
NN和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每22NN段个数，并对每段作C变换，得到p2；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段i个数，并对每段C变22对应的前
换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置. （1）当N=16时，x7位于P2中的第 ▲ 个位置； （2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第 ▲ 个位置. 【答案】（1）6；（2）3?2n?4?11。
【考点】演绎推理的基本方法，进行简单的演绎推理。 【解析】（1）当N=16时,
P0?x1x2x3x4x5x6?x16,可设为(1,2,3,4,5,6,?,16),
P,3,5,7,9,?2,4,6,8,?,16), 1?x1x3x5x7?x15x2x4x6?x16,即为(1P2?x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6?x16,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,?,16), x7位于P2中的第6个
位置。
（2）考察C变换的定义及（1）计算可发现：
第一次C变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2的等差数列，且第一段序号
以1为首项，第二段序号以2为首项；
第二次C变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以为4公差的等差数列，且第
一段的序号以1为首项，第二段序号以3为首项，第三段序号以2为首项，第四段序号以4为首项； 依此类推可得出P4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x173位于以13为首项的那一段的第11个数，由于N=2n（n≥8）故每段的数字有2n-4个，以13为首项的是第四段，故x173位于第3?2置。
例8. （2012年福建省理4分）数列{an}的通项公式an=ncos【答案】3018。 【考点】规律探索题。
π3π
【解析】寻找规律：a1＝1cos＋1＝1，a2＝2cosπ＋1＝－1，a3＝3cos＋1＝1，a4＝4cos2π＋1＝5；
225π7π8π
a5＝5cos＋1＝1，a6＝6cos3π＋1＝－5，a7＝7cos＋1＝1，a8＝8cos＋1＝9；
222
······
n?4?11个位
n?+1，前n项和为Sn，则S2 012＝ ▲ . 29，??,4r，r?N?。 ∴该数列每四项的和ak+ak+1+ak+2+ak+3=6k=1,5，∵2012÷4=503，∴S2 012＝6×503＝3018。
例9. （2012年福建省文4分）某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用．要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小，例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图①，则最优设计方案如图②，此时铺设道路的最小总费用为10.
?? 现给出该地区可铺设道路的线路图如图③，则铺设道路的最小总费用为 ▲ ． 【答案】16。
【考点】最优设计方案。
【解析】根据题意先选择中间最优线路，中间有三条，分别是A→F→G→D，E→F→B，E→G→C，费用最低的是A→F→G→D为3＋1＋2＝6；再选择A→F→G→D线路到点E的最低费用线路是：A→E费用为2；再选择A→F→G→D到C→B的最低费用，则选择：G→C→B，费用最低为3＋5＝8，所以铺设道路的最小费用为：6＋2＋8＝16。