②本题答案不唯一，下列解法供参考．
当0?x?1时，y随x增大而减小；当x?1时,y随x增大而增大；当x?1时函数
y?x?1x(x?0)的最小值为2． 1x③y?x?=(x)2?(1x)=(x)?(221x)?2x?21x?2x?1x =(x?1x1x)?2
2当x?⑵⑴③y?2(x?=0，即x?1时，函数y?x?1x(x?0)的最小值为2．
仿
a??a2?a222)?=2?(x)?()=2?(x)?()?2x?x?xx??ax?2x?a?? x?=2(x?ax)?4a 2当x?ax=0，即x?a时，函数y?2(x?ax)(x＞0)的最小值为4a．
⑵当该矩形的长为a时，它的周长最小，最小值为4a． 【考点】画和分析函数的图象, 配方法求函数的最大(小)值．
【分析】⑴将x值代入函类数关系式求出y值, 描点作图即可. 然后分析函数图像.
⑵仿⑴③y?2(x???a?a2?2)? )=2?(x)?(x?x?=2?(x)2?(axax)?2x?2ax?2x?a??=2(x?x?axax)?4a
2所以, 当x?=0，即x?a时，函数y?2(x?)(x＞0)的最小值为4a
28．（2012?江苏杨州）在△ABC中，?BAC?90°，AB?AC，M是BC边的中点，
MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动．同
时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP．设运动时间为t秒
（t?0）．
（1）△PBM与△QNM相似吗？以图１为例说明理由； （2）若?ABC?60°，AB?43厘米． ①求动点Q的运动速度；
②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；
（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图１为例说明理由．
B P
M
图1
C
B M 图2（备用图）
C
A N Q A N
【答案】解：（1）△PBM∽△QNM． 理由如下： 如图1，
??PMB??PMN?90°，?QMN??PMN?90°， ?MQ⊥MP，MN?BC，??PMB?QMN．
??PBM??C?90°，?QNM??C?90°，??PBM??QNM． ?△PBM∽△QNM．?BC?2AB?83cm． （2）??BAC?90°，?ABC?60°，又?MN垂直平分BC，?BM?CM?43cm．
?MN???C?30°，33CM＝4cm．
①设Q点的运动速度为v cm/s．
如图１，当0?t?4时，由（1）知△PBM∽△QNM．
?NQBP?MNMB，即vt3t?43 ，?v?1．如图2，易知当t≥4时，v?1．
综上所述，Q点运动速度为1 cm/s． ②?AN?AC?NC?12?8?4cm，
?如图1，当0?t?4时，AP?43?12 3t，AQ?4?t．32t?83．
2?S?AP·AQ?14?23?3t??4?t???如图2，当t≥4时，AP?123t?43,AQ?4?t,
?S?AP·AQ?1?23t?43??4?t??32t?83．
2?32t?83?0?t?4????2综上所述，S??
?32t?83?t≥4???2
（?）PQ2?BP2?CQ2 理由如下：
B
D 图1
P
M
C
B
A N Q A P N Q M
C
图2（备用图）
如图?，延长QM至D，使MD?MQ，连结BD、PD
∥CQ. ?BC、DQ互相平分，?四边形BDCQ是平行四边形，?BD 22222??BAC?90°，??PBD?90°，?PD?BP?BD?BP?CQ．
?PM垂直平分DQ，?PQ?PD．?PQ?BP?CQ
222
【考点】相似三角形的判定,。
【分析】（1）由?PMB和?QMN都?PMN互余得到?PMB?QMN 由?PBM和?QNM都与?C互余得到?PBM=?QNM 从而△PBM∽△QNM．
（2）①由于?ABC?60°，AB?43厘米，点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动，故点P从点B出发沿射线BA到达点A的时间为4秒,从而应分两种情况0?t?4和t≥4分别讨论。②分两种情况0?t?4和t≥4，把
AP和B分别用P表示t,求出面积即可。
（3）要探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系就要把BP、PQ、CQ放到一个三角形中，故作辅助线延长QM至D，使MD?MQ222，连结BD、PD得到PQ?PD，
22BD=CQ，从而在Rt?PBD中，PD?BP?BD?BP?CQ，
28、（2012?江苏连云港）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2，点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t/秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S．
（1）当时t=1时，正方形EFGH的边长是 1 ．当t=3时，正方形EFGH的边长是 4 ． （2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？
考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。 专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。
分析：（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；
（2）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤系式；
（3）当t=5时，面积最大；
解答：解：（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1， ∴正方形EFGH的边长是2； 当t=3时，PE=1，PF=3， ∴正方形EFGH的边长是4； （2）：①当0＜t≤
时，
时；②当
＜t≤时；③当＜t≤2时；依次求S与t的函数关
S与t的函数关系式是y=2t×2t=4t2； ②当
＜t≤时，
S与t的函数关系式是： y=4t2﹣
[2t﹣（2﹣t）]×[2t﹣（2﹣t）]，
=﹣
t2+11t﹣3；
③当＜t≤2时； S与t的函数关系式是：
y=（t+2）×（t+2）﹣（2﹣t）（2﹣t）， =3t；
（3）当t=5时，最大面积是： s=16﹣××=
；