点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握． 26、（2012?重庆）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2
，点O是AB的中点，点P
在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形。 专题：代数几何综合题；动点型；分类讨论。
分析：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；
（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四种情况，分别写出函数关系式；
（3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值．
解答：解：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，BC=2
，
tan∠CFB=，即tan60=，解得BF=2，即3﹣t=2，t=1，∴当边FG恰好经过点C
时，t=1；
（2）当0≤t＜1时，S=2t+4；
当1≤t＜3时，S=﹣
t2+3
t+；
当3≤t＜4时，S=﹣4t+20；
当4≤t＜6时，S=（3）存在．
t2﹣12
t+36；
理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB==，
∴∠CAB=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°， ∴AE=HE=3﹣t或t﹣3，
1）当AH=AO=3时，（如图②），过点E作EM⊥AH于M，则AM=AH=，
在Rt△AME中，cos∠MAE═，即cos30°=，
∴AE=，即3﹣t=或t﹣3=，
∴t=3﹣或t=3+，
2）当HA=HO时，（如图③）则∠HOA=∠HAO=30°， 又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE， 又∵AE+EO=3，∴AE+2AE=3，AE=1， 即3﹣t=1或t﹣3=1，∴t=2或t=4；
3）当OH=OA时，（如图④），则∠OHA=∠OAH=30°， ∴∠HOB=60°=∠HEB，∴点E和点O重合， ∴AE=3，即3﹣t=3或t﹣3=3，t=6（舍去）或t=0；
综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3﹣或t=2或t=0．
点评：本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识．关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论．
26、（2012?潼南县）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D． （1）求b，c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂
或t=3+
或t=2
线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下：
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题。
分析：（1）由∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（﹣1，0）B（4，5），然后利用待定系数法即可求得b，c的值；
（2）由直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），即可求得直线AB的解析式，又由二次函数y=x2﹣2x﹣3，设点E（t，t+1），则可得点F的坐标，则可求得EF的最大值，求得点E的坐标；
（3）①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD，可求出点F的坐标（，点D的坐标为（1，﹣4）由S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF即可求得；
②过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3），可得m2﹣2m﹣2=，即可求得点P的坐标，又由过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3），可得n2﹣2n﹣2=﹣P的坐标．
，求得点P的坐标，则可得使△EFP是以EF为直角边的直角三角形的
），
解答：解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），
∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5）， ∴
解得：b=﹣2，c=﹣3；
（2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5）， ∴直线AB的解析式为：y=x+1， ∵二次函数y=x2﹣2x﹣3，
∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3）， ∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+
，
，
∴当t=时，EF的最大值为，
∴点E的坐标为（，）；
（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD． 可求出点F的坐标（，
），点D的坐标为（1，﹣4）
S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=；
②如图：