学科方法2参数法
参数观点是运动、变化思想在数学中的重要体现．参数是解析几何中最活跃的元素，也是解题的一种主要方法．解析几何中的许多解题技巧都来源于参数观点．
(一)参数法解题的基本步骤 参数法解题的步骤是：
(1)设参，即选择适当的参数(参数的个数可取一个或多个)； (2)用参，即建立参数方程或含参数的方程； (3)消参，即通过运算消去参数，使问题得到解决．
例1 已知抛物线y=2px(p＞0)，在x轴的正半轴上求一点M，使过M的弦P1P2，满足OP1⊥OP2． 【解】 如图2－5，设M(m，0)(m＞0)、P1(x1，y1)、P2(x2，y2)． ∵ OP1⊥OP2，
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即y1y2=-x1x2．
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∴ (y1y2)＝4px1x2． 从而(-x1x2)=4px1x2． ∵ x1≠0，x2≠0， ∴ x1x2=4p
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①
设直线P1P2的方程为y=k(x-m)，把它代入y=2px中，整理，得
kx-2(km+p)x+km=0．
由韦达定理，得x1x2=m
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②
把②代入①中，得m=(2p)． ∵ m＞0，p＞0，∴m=2p． 于是所求的点M的坐标为(2p，0)．
【解说】 本例选点P1、P2的坐标为参数，利用已知条件建立x1，x2，y1，y2，m，p的关系式，消去参数，求得m的值．
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OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|2|OP|=|OR|．当点P在l上移动时，求动点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．(1995年全国高考理科压轴题)
【解】 如图2－6，设动点Q(x，y)(x，y不同时为零)．又设|OR|=λ|OQ|，|OP|=u|OQ|，(λ，u＞0)，由于Q、R、P三点共线，所以点R(λx，λy)、点P(ux，uy)．
∵ |OQ|2|OP|=|OR|， ∴ u|OQ|=λ|OQ|．又 |OQ|≠0，
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同理，由P在l上，可得
于是由①、②、③，可得动点Q的轨迹方程为
且长轴平行于x轴的椭圆，去掉坐标原点．
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利用已知条件|OQ|2|OP|=|OR|巧妙地消去参数，这里参数是一个过渡，起桥梁作用．这种解法比高考命题者提供的答案简明．
(二)解题技巧的一个源泉
参数观点是产生解题技巧的一个源泉，解析几何的许多解题技巧都起源于参数．其中“设而不求”和“代点法”就是最突出的两个．
1．设而不求
例3 如图2－7，过圆外一点P(a，b)作圆x＋y=R的两条切线，切点为A、B，求直线AB的方程．
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【解】 设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则切线AP、BP的方程分别为x1x+y1y＝R，x2x+y2y＝R．
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∵ 这两条切线都过点P(a，b)， ∴ ax1＋by1=R， ax2＋by2=R．
由以上二式可以看出，点A、B在直线ax＋by=R上，又过A、B只有一条直线， ∴ 直线AB的方程为ax＋by=R．
【解说】 本例中把A、B的坐标作为参数．虽然设了A、B的坐标，但并没有去求它的值，而是利用曲线与方程的概念，巧妙地“消去”参数，这就是所谓的“设而不求”．
2．代点法
例4 求抛物线y=12x的以M(1，2)为中点的弦所在直线的方程．
【解法1】 设弦的两个端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由中点坐标公式，得 y1＋y2＝4 ①
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即(y1＋
y2)(y1-y2)=12(x1-x2)． ②
即直线AB的斜率k=3．
故直线AB的方程为y-2=3(x-1)．
即 3x-y-1=0． 【解法2】 ∵ 弦的中点为M(1，2)，
∴ 可设弦的两个端点为A(x，y)、B(2-x，4-y)． ∵ A、B在抛物线上， ∴ y=12x，(4-y)=12(2-x)． 以上两式相减，得
y-(4-y)=12(x-2+x)，
即 3x-y-1=0，这就是直线AB的方程．
【解说】 以上两种解法都叫做代点法．它是先设曲线上有关点的坐标，然后代入曲线方程，最后经适当变换而得到所求的结果．
习题2．2
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用参数法解证下列各题：
1．已知椭圆9x＋16y=144内有一点P(2，1)，以P为中点作弦MN，则直线MN的方程为． [ ]
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A．9x-8y＋26＝0
B．9x＋8y-26＝0
C．8x-9y+26=0
D．8x＋9y-26=0
2．点D(5，0)是圆x＋y-8x-2y+7=0内一点，过D作两条互相垂直的射线，交圆于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方
程．
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且OP⊥OQ，求m的值．