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从而9k+2(S-6)k+4=0． ∵ Δ=[2(S-6)]-43439≥0， ∴ S(S-12)≥0． ∵ S＞0，∴S≥12．
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∴ Smin=12．
例3 在椭圆9x+4y=36上分别求一点，使x+y有最大值和最小值． 【解】 设x+y=u，则y=u-x．
把它代入椭圆方程中，整理，得13x-8ux+4(u-9)=0．
∵ x是实数，∴ Δ≥0即(-8u)-431334(u-9)≥0．解之，得-
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(三)求参数的取值范围
例4 已知抛物线y=ax-1上恒有关于直线l：y=-x对称的两点，求a的取值范围．
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【解法1】 如图2-22，设点P(x0，y0)关于直线l对称的点为Q(-y0，-x0)，则由P、Q都在抛物线y=ax-1上，得
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以上两式相减，得 x0+y0=a(x0+y0)(x0-y0)．
∵ 点P不在直线x+y=0上，∴x0+y0≠0．从而a(x0-y0)=1，即y0=x0-
∵ P、Q两点恒存在，∴x0是实数，即方程(*)恒有两个不等实
学科方法2综合几何法
(一)利用平面几何知识解题
例1 已知⊙O的方程为x＋y=r，点A(-r，0)、B(r，0)，M是⊙O上任一点，过A作M处的切线的垂线AQ交BM的延长线于P，求动点P的轨迹方程．
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【解】 如图2－12，连MO，则OM⊥MQ，从而OM∥AP． ∵ |BO|=|OA| ∴ |AP|＝2|MO|＝2r．
于是动点P的轨迹是以点A为圆心，|AP|=2r为半径的圆． 设P(x，y)，则P的轨迹方程为 (x+r)+y＝(2r)．
【解说】 本例利用圆的切线的性质和三角形中位线定理，其解法十分明快、简捷．
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例2 已知圆O′：(x-14)＋(y-12)=36内一点C(4，2)和圆周上两动点A、B，使∠ACB=90°，求斜边AB的中点M的轨迹方程．
【解】 如图2－13，连结MO′、MC、BO′，则O′M⊥MB，|MC|=|AM|=|MB|．设M(x，y)，则在Rt△BMO′中，|O′M|+|BM|=|O′B|，又|BM|=|CM|，
∵ |O′M|＋|CM|=|O′B|，
即(x-14)+(y-12)＋(x-4)+(y-2)=36，
∴ 动点M的轨迹方程为x＋y-18x-14y-468＝0．
【解说】 本例利用圆的垂径定理和直角三角形的性质，使一个运算量较大的习题，得到极其简便的解法，充分显示了平面几何知识在解析几何中的应用．
(二)利用圆锥曲线的定义和几何性质解题
例3 已知一动圆P与圆O1：(x+1)＋y=1外切，与圆O2：(x-1)+y=9内切，求动圆圆心P的轨迹方程．
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【解】 如图2－14．设动圆圆心P的坐标为(x，y)，它的半径为r．由已知，得两定圆的圆心分别为O1(-1，0)、O2(1，0)，半径分别为r1=1，r2=3．
∵ 动圆P与⊙O1外切，与⊙O2内切， ∴ |PO1|=1+r，|PO2|=3-r， ∴ |PO1|+|PO2|=4．
即动点P到两点O1、O2的距离之和等于4．
从而由椭圆的定义，得动点P的轨迹是以两定点O1、O2为焦点，长轴长为4的椭圆．由于⊙O1与⊙O2
内切于点M(-2，0)，所以轨迹中不包括点M．故动点P的轨迹方程为
【解说】 本解法的特点是利用椭圆的定义和两圆相切的条件．
例4 如图2-15，F是圆锥曲线的焦点，P1P2是焦点弦，e、p分别是离心率和焦参数(即焦点到准线的距离|FF1|)，求证
【证明】 如图2-15，过P1、P2分别作准线L的垂线，垂足分别为Q1、Q2． 由圆锥曲线的定义，得