【解说】 由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是： (1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；
(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组； (3)解这个方程组，即得定点坐标． 2．求圆系的公切线或公切圆
例5 求圆系x＋y-2(2m＋1)x-2my＋4m＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程． 【解】 将圆系方程整理为[x-(2m+1)]＋(y-m)=m(m≠0) 显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．
设它的公切线方程为 y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
从而[(1-2k)m-(k＋b)]＝m(1＋k)， 整理成m的方程，得
(3k-4k)m-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)=0．
∵ m取零以外的任意实数上式都成立，
2
2
2
【解说】 由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是： (1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；
(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k，b，m)=0；
(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；
(4)解这个方程组，求出k、b的值；
(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程． 3．化简二元二次方程
例6 求曲线9x＋4y＋18x-16y-11=0的焦点和准线．
【分析】 把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．
习题2．3
2
2
用待定系数法解证下列各题：
1．求经过三点(2，3)、(5，3)、(3，-1)的圆的方程．
2．求双曲线x-2y-6x＋4y＋3=0的焦点坐标．
22
3．若方程ax＋bxy＋cxy＋dy=0表示三条直线，且其中两条互相垂直，求证：a＋ac＋bd＋d=0．
322322
4．求圆系2x+2y-4tx-8ty＋9t=0(t≠0)的公切线方程．
222
5．试证圆系x+y-4Rxcosα-4Rsinα+3R=0(R是正的常数，α为参数)与定圆相切，并求公切圆的方程．
222
6．若在抛物线y=2px(p＞0)的对称轴上有一个定点Q，过Q的任
2
习题2．3答案或提示
1．设圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F=0，把三个已知点的坐标代入，可求得D=-8，E=-2，F=12．
2
2
3．设过原点互相垂直的两条直线方程为lx+mxy-ly=0，另一条直线方程为px＋qy=0，则ax＋bxy＋cxy+dy=(lx＋mxy-ly)(px＋qy)，从而a=lp，b=lq＋mp，c=mq-lp，d=-lp．于是可得a＋ac＋bd＋d=0．
4．y=x或y=7x．
5．圆系方程为(x-2Rcosα)+(y-2Rsinα)=R，设公切圆方程为(x-a)+(y-b)=r，则由两圆相切的充要条件是圆心距等于两圆半径和或差的绝对值，可得(a-2Rcosα)＋(b-2Rsinα)=(R±r)，整理，可得a＋b-2R
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
即a=b=0．从而r-3R±2Rr=0，解得r1=R，r2=3R．
6．设Q(x0，0)，直线AB的参数方程为x=x0＋tcosα，y=tsinα．代
2
2
任一值，所以x0=p．
学科方法2判别式法
(一)确定直线与二次曲线和二次曲线与二次曲线的位置关系
它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离？(1988年全国高考理科试题)
点、l为准线的抛物线方程为y=2px． 椭圆上有四个点符合题意的充要条件为方程组
2
y2=2px
有四个不同的实数解．
显然，这个方程组有四个不同的实数解的充要条件为方程①有两个不相等的正根． 设方程①的两个根为x1、x2，则x1＞0、x2＞0的充要条件为
又由已知，得p＞0 ⑤
【解说】 本例的实质是求椭圆与抛物线有四个不同的交点的条件，它归结为一元二次方程ax+bx+c=0有两个不等的正根的条件，即Δ
2
(二)求极值
例2 过点P(3，2)作直线l分别交x轴、y轴正方向于A、B两点，求△AOB面积S的最小值． 【解】 如图2-21，设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k＜0)，则它在x轴、y轴上的截距分别为