4．已知射线OA、OB分别在第一、四象限，且都与Ox轴成60
的轨迹．
5．已知两点P(-2，2)、Q(0，2)以及一条直线l：y=x．设长为
程．(要求把结果写成普通方程)(1985年全国高考理科试题)
6．已知椭圆的中心在原点，对称轴合于坐标轴，直线y=-x＋1与
习题2．2答案或提示
1．仿例4，选(B)．
2．设M(x，y)，A(x＋x0，y＋y0)，B(x-x0，y-y0)，把A、B
=0．
3．仿例1，可得m=3．
5．设A(t，t)，B(t＋1，t＋1)，又设直线PA、PB的斜率分别
x-y＋2x-2y＋8=0．
6．设椭圆的方程为ax＋by=1(a＞0，b＞0)，A、B、C的坐
2
2
2
2
学科方法2待定系数法
(一)求直线和曲线的方程
例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．
【解】 设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得
依题意，列方程得
于是所求的直线方程为 8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．
【解说】 (1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数． (2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．
例2 如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若
系，求曲线C的方程．(1998年全国高考理科试题)
【解】 如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．
设曲线C的方程为y=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N
2
解之，得p=4，x1=1．
故曲线C的方程为y=8x (1≤x≤4，y＞0)．
(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质
例3 已知方程ax＋bxy＋cy=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．
【解】 设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则
ax+bxy＋cy＝(mx+ny)(qx+py)．
从而由待定系数法，得
a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．
(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为
2
2
2
2
2
即(m＋n)(qx＋py)=(q+p)(mx＋ny)， 化简、整理，得
2
2
2
2
2
2
(nq-mp)[(nq＋mp)x＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y]=0．
∵ L1、L2是两条不重合的直线
∴b-4ac＝(mp+nq)-4mnpq=(mp－nq)＞0． 即 mp-nq≠0．
从而(nq＋mp)x＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y=0．
把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得 bx+2(c-a)xy-by＝0． 即为所求的两条角平分线方程．
(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°． 当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则
2
2
2
2
2
2
2
22
【解说】 一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便． (三)探讨二次曲线的性质 1．证明曲线系过定点
例4 求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t＋t＋1)x+(t＋1)y＋4t(t＋1)y-(109t＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．
【证明】 把原方程整理成参数t的方程，得 (4x＋4y-109)t+(x+y+4y-21)t+x＋y-31=0． ∵ t是任意实数上式都成立，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2