经典雷达距离估算
2.1 引言
对于自由空间中特定目标的检测（该目标的检测受热噪声的限制），雷达最大作用距离估算的基本物理机理从雷达出现起就为人所熟知。本章的术语自由空间指以雷达为球心、半径远远延伸到目标之外的球形空域内仅有雷达和目标。本章采用的自由空间定义对具体的雷达而言是相当准确的，而通用定义是冗长的，且用处不大。该定义还暗示，自由空间内可被检测的雷达频率电磁波除了来源于雷达自身的辐射外，仅来自于自然界热或准热噪声源，如2.5节所述。
尽管上述的条件是不可能完全实现的，但是它接近许多雷达的实际环境。在许多非自由空间和完全非热噪声的背景下，估算问题要复杂得多。这些在早期分析中没有考虑到的复杂性也是由接收系统电路的信号和噪声关系的改变（信号处理）引起的。
在本章中将给出自由空间方程，讨论基本的信号处理，以及考虑一些十分重要的非自由空间环境下的方程和信号处理。另外还将考虑一些常见非热噪声的影响。虽然不可能涉及所有可能的雷达环境，但是本章所叙述的方法将简要地说明那些适合于未考虑到的环境和条件的必然方法的一般性质。一些要求采用特定分析的专用雷达将在后面章节中叙述。
定义
雷达作用距离方程包含许多雷达系统及其环境的参数，其中一些参数的定义是相互依赖的。正如2.3节所讨论的，某些定义含有人为因素，不同作者使用不同的作用距离方程因子定义是常见的。当然，若存在被广泛接受的定义，则采用该定义。但更重要的是，虽然某些定义允许一定的随意性，但是一旦一个距离方程因子采用特定的定义，则一个或更多的其他因子的定义将不再具有随意性。
例如，脉冲雷达的脉冲功率和脉冲宽度的定义各自均具有很大的随意性，但是一旦任何一个定义被确定，那么另一个定义将由限制条件决定，即脉冲功率与脉冲宽度的乘积必须等于脉冲能量。在本章中将给出一套定义，该定义遵循上述准则，并已被权威组织采纳。
约定
由于传播途径因子和其他距离方程因子的变化很大，因此在这些因子的具体值未知的标准条件下，某些约定是估算作用距离所必需的。通常采用的一种约定是标准假设，这种假设实际上并不一定能遇到，但却在所能遇到的条件范围内，尤其是在条件范围的中间附近，这种假设是可行的。就像传统的地球物理假设一样，为计算基于地球曲率的某些地球环境效应，假设地球是一个半径为6370 km的理想球体。约定的重要性在于，它提供了比较不同雷达系统的共同基础。约定是典型条件的代表，就这一点来说，它们也可用于估算实际的探测距离。
第2章 雷达距离估算 ·19·
本章将使用被广泛采用的约定，而当所需的约定不存在时，将提出另外适当的约定。
距离估算的基本观点
由前面的讨论可确知,基于约定假设的作用距离估算并不要求用严格的实验结果来验证。这一点将由噪声的统计特性进一步证实，而噪声通常是信号检测过程的限制因素。换句话说，即使所有的环境因素都精确已知，距离估算结果也不可能由一次实验完全证实。统计估算结果是指多次实验结果的平均值。所以，雷达距离估算并不是一门严格学科。（实际上，量子力学的教训表明，从严格的意义上讲不存在所谓的严格学科。）
然而，雷达作用距离的估算仍然是有用的。尽管从绝对意义上讲，估算是不精确的，但它可以得到不同设计方案预期性能方面有意义的比较结果，并且如果雷达参数或环境条件发生变化时，距离估算可以显示预期的距离性能的相对变化。因此，距离估算是系统设计者强有力的工具。估算的作用距离是雷达系统的一个质量指标。估算的距离并不是惟一指标，其他的重要指标还有目标位置测量精度、数据率、可靠性、可维修性、体积、重量和价格。虽然从绝对意义上说，估算是不精确的，但是估算距离的误差可以小到足以体现在一般环境下雷达的预期性能。2.10节将详细讨论估算精度问题。
由于在工作状态下，雷达方程的许多因子是不可能确知的，因而试图精确估计距离方程各因子（精确到1 dB以下）是不必要的。这个观点虽有些道理，但如果方程中每个因子的精度都发生细微的下降，那么方程的整个精度将大大降低。因此，在估算距离时要尽可能精确地估算各个因子。0.1 dB的精度是合适的，尽管并不是所有的因子都能达到该精度。
历史回顾
第一篇广泛论述雷达作用距离估算的文献可能是Omberg和Norton的文献 [1] 。它于1943年作为美国陆军通信部队报告第一次发表。这篇文章给出了较详细的距离方程，并且在当时知识局限的情况下，还包含了诸如多路径干涉和最小可检测信号等一些疑难的参数估算资料。文章中，有关信号检测过程的讨论是假设用阴极射线管显示器来观察的。假设天线“照射”着目标，而且不考虑信号检测的统计特性。
1943年D. O. North[2]在以军事安全密级发表的经典报告中简述了统计信号检测的基础理论。（这篇报告直到1963年才在《IEEE汇刊》上再次发表。）他提出现在称为检测概率和虚警概率的概念，并阐明脉冲信号检测的积累作用。这篇报告还提出匹配滤波器的概念。在1963年之前人们对匹配滤波器的作用就有一些认识。但除了概念之外，匹配滤波器对信号检测理论的作用，直到20年后重新发表这篇文章时才得到雷达工程师的重视。
在1948年首次发表，并于1960年在IRE信息论汇刊上再次发表的一篇著名报告[3]中，J. I. Marcum借助于机器运算，并参考North的报告，发展了信号检测的统计理论。他将检测概率视做与信噪比相关的距离参数的函数，对于不同的脉冲积累数和不同的虚警参数的值（他记为虚警数）进行计算。他通过这种计算方法来研究不同积累数、积累形式、不同的检波器和显示器损耗（空间坐标“重叠”引起的）的影响，以及各种其他影响。在假设接收信号与距离的4次方成反比的条件下，Marcum的结论给出检测概率曲线图，图中检测概率是实际作用距离与信噪比为1时的作用距离之比的函数。由于上述的比例关系只有当目标在自由空间中时才成立，因此Marcum的结论有时应用起来很复杂。
·20· 雷 达 手 册
Marcum仅仅考虑了稳定信号（即在观察周期内目标截面积不变）情况，并且他的大部分结论都是在假设使用平方律检波器的情况下推出的。Robertson[4]曾发表过更详细也更有用的稳定信号的结论，该结论适用于普遍采用的线性检波器。平方律检波器的结论也是有用的，因为它们和线性检波器的结论差别很小。Swerling发展了Marcum的结论，他考虑了起伏信号 [5]。他的文章在1960年的IRE信息论汇刊上再次发表。Fehlner[6]重新计算了Marcum和Swerling的结论，给出了更适用的特性曲线（取信噪功率比为横坐标）。Kaplan [7]，Schwartz [8]，Heidbreder和Mitchell等人[9]，以及Bates[10]进一步研究了起伏信号的问题。
1956年，Hall[11]在一本关于雷达作用距离估算的综合性著作中进一步讨论了检测概率、虚警概率、检波前和检波后积累的相对效果、天线波束扫描影响等问题。雷达方程用有效接收信号功率在理想条件下（匹配滤波器）使用的情况来表示，用损耗因子表示与理想条件下的偏差。
1961年，Blake[12] 运用以下一些最新的进展，包括系统噪声温度的计算、大气吸收、根据大气折射指数模型绘制威力图的方法及多路径干涉的计算，发表文章进一步阐述了距离估算问题。这一章是根据美国海军研究实验室（NRL）的报告[13]和一本给出更多细节的专著[14]写成的。
从事距离估算研究还有许多其他人，不胜枚举。这里只概略地举出一些主要文章。MIT辐射实验室丛书第13和24卷（Kerr[15]，Lawson和Uhlenbeck[16]主编）列举了大量的有关文章。本章引用以上两卷中的许多内容。
2.2 距离方程
雷达传播方程
下式是由Kerr[15]给出的方程称为单基地雷达（发射机和接收机同基地）传播方程。
222Pr?GtGr??FtFr （2.1） 34(4?)PtR式中，Pr为接收信号的功率（天线端）；Pt为发射信号的功率（天线端）；Gt为发射天线功率
增益；Gr为接收天线功率增益；? 为雷达目标截面积；?为波长；Ft为从发射天线到目标的方向图传播因子；Fr为从目标到接收天线的方向图传播因子；R为雷达到目标的距离。
这个方程与Kerr所列的方程并不完全相同。Kerr假设发射和接收使用同一天线，因而GtGr成为G2，Ft2Fr2成为F4。在上述方程中惟一要解释的是传播因子Ft和Fr。Ft的定义为，目标位置处的场强E与自由空间中天线波束最大增益方向上距雷达同样距离处的场强E0之比。Fr的定义与此类似。这两个因子说明目标不在波束最大值方向上的情况（Gt和Gr是最大值方向上的增益）以及自由空间中不存在的各种传播增益和传播损耗。最常见的影响是吸收、绕射、阻挡、某些折射效应和多路径干涉。
在自由空间中，当目标位于发射和接收天线波瓣图的最大值方向时，Fr = Ft = 1。这些因子和方程中的其他因子将在2.3～2.7节中详细叙述。
第2章 雷达距离估算 ·21·
最大作用距离方程
式（2.1）不是距离方程，尽管也能写成
?PtGtGr??2Ft2F2?rR???3(4?)??Pr??1/4 （2.2）
式（2.2）表明，R是在发射功率为Pt，接收回波功率为Pr，目标尺寸为? 等确定的前提下得
出的距离。若在Pr和R中加上下标，使之成为Pr,min 和Rmax，则该式系指最大作用距离方程。也就是说，当式（2.2）中Pr 是最小可检测值时，相应的作用距离就是雷达的最大作用距离。
但是，这个最大作用距离方程只是个非常简单的式子，其用途有限。为使方程更为有用，第一步是用更明确的表达式来代替Pr。首先定义信噪功率比为
SP?r （2.3） NPn式中，Pn是接收系统的噪声功率，决定可检测到的最小值Pr。依次，噪声功率能用接收系统噪声温度Ts来表示，即
（2.4） Pn?kTsBn式中，k为玻耳兹曼常数（1.380 658×10-23 Ws/K）；Bn为接收机检波前滤波器的噪声带宽，
单位为Hz。（这些参数在2.3和2.5节中有更完整的定义[17]。）因此
（2.5） Pr?(S/N)KTsBn把Pt定义为发射机的发射功率而非天线端的发射功率，如式（2.1）是较适宜的变换。由
于传输线的损耗，天线端的发射功率通常略小于发射机的发射功率。当雷达设计师或生产者指定了发射机功率，实际的发射机输出功率是有意义的，因此要重新定义Pt。
根据这个定义，Pt必须用Pt/Lt来代替。其中，Lt是损耗因子，定义为发射机输出功率与实际传到天线端功率之比，因此，Lt≥1。
在后续章节中可以看到，提出与雷达方程中其他因子相关的附加损耗因子是方便的。并且这些系数相乘，也就是说，如果有三个损耗因子L1,L2,L3，则它们可用一个系统损耗因子L = L1L2L3来表示。最后得最大作用距离方程：
?PtGtGr??2Ft2F2?r?Rmax??3kL(S/N)(4?)TBsn??min??1/4 （2.6）
式中的(S/N)min和Ts是在天线端的估算值，这缩小了方程的应用范围。若如此定义，则(S/N)min
与Bn有关，且这种相关性在公式中是难于考虑到的。而若忽略这种相关性，则方程表明，Rmax是Bn的反函数，即如果方程中的其他因子保持不变，只要Bn足够小，Rmax要多大就可有多大。众所周知，这是不现实的。为了弥补这一点，必须考虑几个损耗因子。根据具体的发射波形，这一点是很方便做到的。
脉冲雷达方程
式（2.6）并没有具体说明发射信号的性质，它可以是连续波、调幅波、调频波或脉冲信号。根据脉冲雷达的具体情况，修改上述方程是有益的，并且它也可避免遇到式（2.6）中的“带宽”难题。当然，脉冲雷达是最常用的类型。尽管修改后的方程表面上只限于脉冲雷达，
·22· 雷 达 手 册
但实际上，只需对某些参数重新进行适当的说明，方程就能应用于其他类型的雷达。
D. O. North[2]证明，当接收机带宽Bn为一个特定（最佳）值时，可检测到的信噪比即有最小值，并且Bn的最佳值与脉冲宽度?成反比。这一点表明，方程分母中的带宽可用分子中的脉冲宽度来代替。North还证实，在接收机中相邻信号和噪声样本的积累可改善信号的可检测性，并且可检测性是信号积累总能量的函数。（积累过程将在2.4节中讨论。） 最后，他指出，当接收机滤波器与脉冲波形匹配时，接收到的脉冲能量与噪声功率谱密度之比在接收机滤波器输出端最大，并且等于天线端信噪比。这里的术语“匹配”指滤波器的带宽为最佳时的情况，它的实际含义是滤波器的传递函数等于脉冲频谱的复共轭。
可见度系数
基于上述这些事实的最大作用距离方程可用一个称为可见度系数的参数来推导。可见度系数由电气与电子工程师协会（IEEE）[18]定义为，“在脉冲雷达中，能提供规定检测概率和虚警概率的单个脉冲信号能量与单位带宽噪声功率之比，在中频放大器中测量，使用与单个脉冲匹配的中频滤波器，并且中频滤波器后为最佳的视频积累。”若暂且不考虑定义中的某些含义，可见度系数可用下面的数学式子表示为*
D0?ErN0?Pt?kTs （2.7） 式中，D0是可见度系数；Er是接收到的脉冲能量；N0是单位带宽噪声功率。Er 和N0都是在接收机滤波器输出端（也就是检波器的输入端）的测量值。
其次，考虑接收机带宽Bn非最佳的情况，作用距离方程要定义一个带宽校正系数CB。它的定义式为
(S/N)minBn?(S/N)min(0)Bn,optCB?D0Bn,optCB （2.8） 式中，Bn,opt是Bn的最佳值。由于CB最初是根据带宽最优化来定义的，所以称之为带宽校正系数。实际上，用North匹配滤波器的观点来看，它是滤波器失配系数。由式（2.8）可知，CB≥1。它的计算将在2.3节中讨论。
式（2.8）中的(S/N)min(0)是(S/N)min在最佳带宽（匹配滤波器）时的值。North认为，它等于D0。因此，作用距离方程可以如愿地用检波器输入端（滤波器输出端）的信噪比来表示，而不用天线端的信噪比。
North推断Bn,opt正好等于1/?。如后所述，采用人工观测的许多雷达检测实验表明，比例常数不恰好等于1。但是，对矩形脉冲和2.3节中给出的噪声带宽Bn定义来说，North的推断在理论上是正确的。对于其他形状的脉冲而言，其脉宽-带宽关系受制于脉宽所采用的具体定义。当然，矩形脉冲不存在这一问题。
基于上面的结论，再根据式（2.8）的参数，作用距离方程的分子可按照下式用脉宽表示。
(S/N)minBn?D0CB? （2.9）
将式（2.9）代入式（2.6），得到期望的脉冲雷达距离方程：
*
在某些文献中，匹配滤波器输出信噪比等于2Er/N0。这种表示法的根据是，峰值功率不仅是输出脉冲波峰
的瞬时功率值，而且是射频周期波峰的瞬时功率值。而瞬时功率在理论上是平均功率的两倍。North的定义基于整个射频周期的信号平均功率，这和噪声功率的定义是一致的，它是在射频周期和随机噪声起伏上的平均。