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镜面反射粗糙度因子
Ament[28]给出了表面粗糙度引起的镜面反射系数衰减因子公式：
??2?Hsin??2?r?exp??2??? （2.46）
???????上式和Beand等人[29]关于粗糙海面反射实验的报告相当一致。在H(sin?)/? 的值大于0.1时，实验结果的r值比式（2.46）的预测值略大。图2.15示出式（2.46）随参数（f Hsin?）变化的曲线。其中，H以ft为单位；f 以MHz为单位。虚线近似表示（f Hsin?）值较大时的实验数据。
图2.15 粗糙海面与平静海面反射系数之比和（f Hsin?）的关系 f是频率；H是浪高分布的标准偏差；?是入射余角。实线是由式（2.46） 得出的，虚线表示参考资料29中的实验结果。（引自参考资料13）
式（2.46）中，H是浪高的标准偏差，它近似等于0.25倍的所谓有效浪高H1/3。H1/3定
义为浪群中1/3的最高浪的平均峰谷高度，并且H和H1/3的单位必须与? 的单位相同。但在图2.15中，横坐标内的参数H是以ft为单位的。
为更好地和实验结果吻合，Miller等人提出了式（2.46）的修正式。基于理论方面的考虑，表示为
r?e?zI0(z) （2.47） 式中，I0(z)是修正后的零阶贝塞尔函数（I0(z)=J0(iz)），而且
2?2?Hsin??z?2?? （2.48） ???当参数（Hsin?/?）在0～0.3之间时，若满足他们的假设条件，则公式的计算结果是很精确的。
在粗糙表面上，除了镜面反射外，还有“漫”前向散射分量，它随海水的运动而起伏。在这方面它和众所周知的海杂波现象（参见第13章）的后向散射信号相似。这个漫前向散射
第2章 雷达距离估算 ·49·
起伏信号和直射波以及镜面反射波一起形成目标处的总场强，并使F上下起伏[29][31][32]。因此，即使目标截面积不起伏，F的起伏都将导致接收信号的额外起伏。
在计算F时，通常不包括漫前向散射信号。因为它是在大立体角上的散射，而镜面反射则集中在天线波束的立体角内，所以在大多数情况下，它对雷达探测距离的影响不大。
球面地面反射几何图
计算方向图传播因子的主要问题：（1）找出反射系数?；（2）找出直射线和反射线的波程差?。由图2.10可推出在平面反射情况下相对简单的波程差公式[14][15]。若天线高度很低（如舰载天线的高度），且目标的仰角足够大，那么平坦地面假设不会引起太大的误差。
当这个假设不成立时，行程差必须用如图2.16所示的球面地面反射的几何图来计算。问题的难点在于如何找出反射点。Fishback [15]给出了它的解，它要解下面的3次方程：
2G13?3GG12?[G2?2ae(h1?h2)]G1?2aeh1G?0 （2.49） 式中，G, G1, h1, h2和ae如图2.16所示。弧长G1是天线的地面投影点到反射点的曲线长（未知）；ae=ka是有效地球半径，其中k=4/3；a是实际的地球半径（6370 km）。因此ae=8493.3 km。以后会解释，用这个有效半径可以修正正常大气折射引起的射线弯曲，因而，在分析时可假定射线路径是直的。高度在10 km或30 000 ft以下时，这种折射修正是相当准确的。
参考资料14中的解（稍微修正后）为 G1?G/2?psin(?/3) （2.50） 其中，
p?(2/3)ae(h1?h2)?(G/2)2 （2.51）
??sin?1[2aeG(h2?h1)/p3] （2.52）根据图2.16，计算波程差所需的其他量可以通过简单的几何或三角分析求出。人工求解这些方程需要相当多的时间，但用数字计算机只需一个非常短的程序就可求出。波程差的最后公式为
??4R1R2sin2?/(R1?R2?Rd) （2.53）
细节参见参考资料14和15。
扩散因子
球面地面多路径反射还需计算的另一个量是扩散因子，它是全反射系数的一部分（式（2.45））。这个因子考虑了在球面地面反射情况下，电磁波波前的三维展宽速率比反射前展宽得快所引起的反射波功率密度衰
图2.16 球面地面反射的几何图形
Rd,R1,R2,h1,h2,G1,G2是图中实心点间实线的距离。 为把几何关系表示清楚，放大了天线的高度（文 中的分析假设天线高度远小于地球曲率）。
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减。采用前面所给出的量，扩散因子的精确近似公式为
?2G1G2?D??1???aeGsin???1/2 （2.54）
球面地面方向图传播因子
现在由式（2.41）可以计算方向图传播因子，该方程是计算方向图传播因子最通用的公式。但是，这个复指数表达式可以写成下面更为方便的实变量形式：
F?fd|1?x2?2xcos?| （2.55）
其中，
x?? fr/fd （2.56）
fr和fd分别是直射线和反射线方向图系数的幅度。? 和? 由式（2.44）和式（2.45）给出。式（2.55）同式（2.41）一样是完全通用的，适用于平坦地面或球面地面反射。
过渡区
在前面定义的三种多路径情况中，已经介绍了其中的两种情况，即目标位于水平面之上的平坦地面情况和球面地面情况。在这两种情况中，目标均位于称之为干涉区的区域内。图2.17示出第三种情况（过渡区）与干涉区和绕射区的几何关系图。
图2.17 干涉区、过渡区和绕射区的大致关系（引自参考资料56）
在干涉区，方向图传播因子可以用前面描述的干涉原理来求解，它是基于射线光学假设的。绕射区不符合射线光学假设，因此要用基于电磁波理论的方法来求解（即麦克斯韦方程）。所幸的是，在该区内，它是一个相对简单的数学求解过程。但是，当目标处在过渡区时，不能用射线光学假设，且完善的电磁波理论求解变得非常复杂。所以，希望能找到一种更有实际意义的求解方法。通常使用的方法是内插法，就是尽可能在干涉区内（如仍符合射线光学的区域内）计算出一些点，然后在这些点和绕射区内的点之间插值。Fishback[15]叙述了这种方法，其详细论述可参见参考资料14。
仰角干涉区的计算
在绘制地面或舰载雷达的垂直平面威力图时，由于它的一个坐标轴是仰角，所以若能计算出方向图传播因子和仰角的关系（与距离无关），则是很方便的。可以证明，如果目标距离
第2章 雷达距离估算 ·51·
和高度远大于天线的高度时，F的确仅是目标仰角?的函数，而与目标距离和高度无关。它的详细计算可参见参考资料14。
折射和威力图
计算方向图传播因子的最终目的是，要得到雷达最大作用距离与目标仰角? 或信噪比与距离的函数关系，但通常没有必要指定目标的高度。如果F是以仰角函数来计算的话，那么对于假定的自由空间距离R0，考虑到Rmax和F都是仰角的函数，就能根据式（2.39）画出雷达垂直平面威力图。如果要考虑大气损耗效应，则要用迭代的方法求解，这部分内容将在2.7节中讨论。
如果威力图要显示目标距离、仰角和地表高度的正确关系，则必须考虑射线在大气中向下弯曲（大气折射）情况。在高度不太高的情况下，折射影响可以用Schelleng, Burrows和Ferrell的“等效地球半径”法来近似说明[33]。假设折射指数n随高度线性递减，即dn/dh=C，C为负常数。如果在图中把地球半径画成比实际地球半径大k倍，那么原来弯曲的射线就变成了直线。k的标准值是4/3。在这些假设下，当雷达作用距离远小于地球半径a时，距离-高度-仰角的关系式为
? h2?h1?Rsin??Rcos （2.57）
2ka式中，? 为目标仰角；h2为目标高度；h1为天线高度。并假设h1<< h2且h2不大于30 000ft（10 km）。方程中有关长度的单位假设都是相同的。
根据式（2.57）可得到距离-高度-仰角图，该图中的射线为直线。如果距离和高度的标尺相同，那么等距线是以原点为中心的圆。如果标尺不同，则等距线为椭圆。等高线是向下弯曲的曲线，其曲率半径在h处为k(a+h)。在这个图中可以画出雷达距离与仰角的关系图，该图就称为威力图。在出现反射干涉的情况下，威力图将呈现花瓣状。
在曲面地面和过渡区情况下，计算都是在假设折射指数n随高度线性递减的条件下进行的。由于这种计算方法主要运用于低空目标，所以误差不是很大。当高度大于30 000ft时，其射线起始仰角较低，误差很大。人们提出并广泛研究的另一种折射指数模型是指数模型[34][35]，即
n(h)=1+(Ns×10-6)e-?h （2.58）
式中，Ns为表面折射率；? 为衰变常数。可是，这个指数模型并不能得到简单的距离-高度-仰角关系式，如果要画出射线轨迹，则需要数值积分[36]。但可以用计算机的计算结果来画出这种指数模型的距离-高度-仰角图[37]。如图2.18所示，其中Ns=313，? =0.04385，且式（2.58）中的高度单位是千英尺。这些值的折射率模型就称为Ns=313的CRPL大气折射指数模型[35]。这个模型及绘制基于它的距离-高度-仰角图的方法可参见参考资料14中的第5章。
图中的射线画成直线，尽管在实际空间中，由于折射会向下弯曲。将等高线适当变形就可得到直射线。然后，如果根据式（2.39）和F是仰角的函数，在图中画出最大作用距离线，那么对制图所使用的折射率分布图而言，它将给出点迹的正确高度，如图2.11所示。
当频率低于1000 MHz时，对更高的目标（如空间物体）来说，将出现电离层折射。（频率更高时，电离层折射可忽略不计。）这种折射与频率有关，而且是昼夜变化的，它有时还与
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射线相对于地球磁场的方向有复杂的函数关系，所以没有一种通用的图，能表示电离层内及电离层以上的雷达距离-高度-仰角关系。Millman给出了一些典型的结果[38]。
图2.18 雷达距离-高度-仰角图
折射线用直线表示按照Ns＝313的CRPL大气折射指数模型算出。距离 和高度比例尺是线性的，仰角比例尺是非线性的。（引自参考资料37）
2.7 损耗因子
损耗因子被定义为增益的倒数。双口（四端）网络的损耗因子等于输入功率与输出功率
之比。如果功率用有效功率（参见2.5节）定义，则合成的损耗因子就称为有效损耗（有效增益的倒数），在计算噪声温度时要用到有效损耗的概念。
雷达距离方程中的总系统损耗因子L等于各个损耗因子之积。在此讨论总系统损耗因子的所有分量是不现实的，所以本节仅限于讨论一般性原理、一些重要的损耗因子以及一些在实际中经常出现的损耗因子方程和数据。其他的可参见参考资料14的第8章及其他文献。
发射损耗因子Lt在2.3节中已讲过，它是发射机输出功率与实际送到天线上的功率之比。它表示传输线、收发开关及天线与发射机之间各器件的损耗。
接收传输线损耗因子Lr不作为包含在总系统损耗因子内的一个分量，天线损耗因子La
也是这样。因为这些损耗完全可以用Gt,Gr和Ts来说明。
除了Lt，还有两个经常出现的损耗因子，一个是天线方向图损耗因子Lp（这只适合于扫描雷达）；另一个是大气传播损耗因子L?，它用于说明对流层吸收损耗和透镜效应损耗。这两个损耗因子将着重说明，其余一些损耗因子只在某些情况下才存在，所以只作概要说明。如果把所有偶然发生的损耗因子概括为Lx，则系统损耗因子为