1
∴a1b1＋a2b2>. 2
综上可知，最大的数应为a1b1＋a2b2.
222
14．设x，y，z∈R，试比较5x＋y＋z与2xy＋4x＋2z－2的大小．
222
解 ∵5x＋y＋z－(2xy＋4x＋2z－2)
2222
＝4x－4x＋1＋x－2xy＋y＋z－2z＋1
222
＝(2x－1)＋(x－y)＋(z－1)≥0，
222
∴5x＋y＋z≥2xy＋4x＋2z－2，
1
当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．
2
1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论． 概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键． 3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然． 3.2 一元二次不等式及其解法(一) 课时目标 1．会解简单的一元二次不等式． 2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系． 1．一元一次不等式 一元一次不等式经过变形，可以化成ax>b (a≠0)的形式． b?a???b? (2)若a<0，解集为?x|x a?? ? (1)若a>0，解集为?x|x>?； 2．一元二次不等式 一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式： 22 (1)ax＋bx＋c>0 (a>0)；(2)ax＋bx＋c<0 (a>0).3.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示： 判别式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 2Δ＝b－4ac 二次函数y＝ax＋bx＋c (a>0)的图象 2 一元二次方程ax＋bx＋c ＝0(a>0)的根 2ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) {x|x1 2 1．不等式－6x－x＋2≤0的解集是( ) ?21?A.?x|－≤x≤? 32???21??? x|x≤－或x≥B. 32?? ?1?C.?x|x≥? 2?? ?3?D.?x|x≤－? 2?? 答案 B 22 解析 ∵－6x－x＋2≤0，∴6x＋x－2≥0， ∴(2x－1)(3x＋2)≥0， 12∴x≥或x≤－. 23 22 2．一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax＋bx＋c≥0的解集为( ) A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2} C．{x|－1 解析 由题意知，－＝1，＝－2， ∴b＝－a，c＝－2a， 2 又∵a<0，∴x－x－2≤0，∴－1≤x≤2. 223．函数y＝lg(x－4)＋x＋6x的定义域是( ) A．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 答案 B 2??x－4>0， 解析 ∵?2∴x≤－6或x>2. ?x＋6x≥0，? baca 4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( ) A．(0,2) B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2) 答案 B 解析 ∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0， 2 ∴x＋x－2<0.∴－2 22 5．若不等式mx＋2mx－4<2x＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是( ) A．(－2,2) B．(－2,2] C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2) 答案 B 22 解析 ∵mx＋2mx－4<2x＋4x， 2 ∴(2－m)x＋(4－2m)x＋4>0. 当m＝2时，4>0，x∈R； 2 当m<2时，Δ＝(4－2m)－16(2－m)<0， 解得－2 ??x－4x＋6，x≥0， 6．设函数f(x)＝? ??x＋6， x<0， 2 则不等式f(x)>f(1)的解是( ) A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞) C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A 2 解析 f(1)＝1－4×1＋6＝3， 2 当x≥0时，x－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1； 当x<0时，x＋6>3，解得－3 所以f(x)>f(1)的解是(－3,1)∪(3，＋∞)． 二、填空题 2 7．二次函数y＝ax＋bx＋c的部分对应点如下表： X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 2 则不等式ax＋bx＋c>0的解集是______________． 答案 {x|x<－2或x>3} 2 8．不等式－1 2??x＋2x－3≤0， 解析 ∵?2 ?x＋2x>0，? ∴－3≤x<－2或0 22 9．已知x＝1是不等式kx－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________． 答案 k≤2或k≥4 222 解析 x＝1是不等式kx－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k－6k＋8≥0， 解得k≥4或k≤2. 22 10．不等式(x－x＋1)(x－x－1)>0的解集是________________． 1－51＋5 答案 {x|x<或x>} 22 ?1?232 解析 ∵x－x＋1＝?x－?＋>0， ?2?4 22 ∴(x－x－1)(x－x＋1)>0可转化为 2 解不等式x－x－1>0，由求根公式知， 1－51＋5x1＝，x2＝. 222 ∴x－x－1>0的解集是 ???1－51＋5??x|x 22???? ???1－51＋5? ??. ∴原不等式的解集为x|x<或x> 22???? 三、解答题 ??122 11．若不等式ax＋bx＋c≥0的解集为?x|－≤x≤2?，求关于x的不等式cx－bx＋a<0 3?? 的解集． ??12 ??， x|－≤x≤2解 由ax＋bx＋c≥0的解集为 3?? 12 知a<0，且关于x的方程ax＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2， 3 ??∴?1c－×2＝??3a1b－＋2＝－3a 52 ，∴b＝－a，c＝－a. 33 所以不等式cx－bx＋a<0可变形为 ?－2a?x2－?－5a?x＋a<0， ?3??3????? 2 即2ax－5ax－3a>0. 2 又因为a<0，所以2x－5x－3<0， 2 所以所求不等式的解集为???x|－1 2 . 12．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3 >0. 解 将不等式x2－(a＋a2)x＋a3 >0变形为 (x－a)(x－a2 )>0. ∵a2 －a＝a(a－1)． ∴当a<0或a>1时，aa2 }． 当0 或x>a}． 当a＝0或1时，解集为{x|x∈R且x≠a}． 综上知，当a<0或a>1时，不等式的解集为{x|xa2 }； 当0 或x>a}； 当a＝0或1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠a}． 【能力提升】 13．已知a>a2 1>a23>0，则使得(1－aix)<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是( A.???0，1a?? B.?2??1??2?1???0，a1?? C.??0，a3?? D.??0，a3?? 答案 B 解析 由(1－a2 ix)<1， 得1－2a2 ix＋(aix)<1， 即ai·x(aix－2)<0. 又a1>a2>a3>0. ∴0 a， i即x<2a，x<2且x<2. 1a2a3 ∵222a>>>0 3a2a1 ∴0 a. 1 14．解关于x的不等式：ax2 －2≥2x－ax(a∈R)． 解 原不等式移项得ax2 ＋(a－2)x－2≥0， 化简为(x＋1)(ax－2)≥0. 当a＝0时，x≤－1； 当a>0时，x≥2 a或x≤－1； 当－2 a≤x≤－1； 当a＝－2时，x＝－1； 当a<－2时，－1≤x≤2 a. 综上所述， 当a>0时，解集为??? x|x≥2 a或x≤－1??? ； 当a＝0时，解集为{x|x≤－1}； 当－2 a≤x≤－1?? ； 当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}； 当a<－2时，解集为?? ?x|－1≤x≤2? a?? . )