x＋3y≥12??
?x＋y≤10??3x＋y≥12
下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交
于点A(3,3)，
x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)， x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，
作一组与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z，
即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即zmax＝2×9－1＝17；当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7.
∴zmax＝17，zmin＝－7.
2x＋y－5≥0??
10．已知?3x－y－5≤0
??x－2y＋5≥0解 作出不等式组 2x＋y－5≥0??
?3x－y－5≤0??x－2y＋5≥0
，求x＋y的最小值和最大值．
22
的可行域如图所示，
??x－2y＋5＝0由?
?2x＋y－5＝0??x－2y＋5＝0?由???3x－y－5＝0??3x－y－5＝0由?
?2x＋y－5＝0?
2
2
，得A(1,3)， ，得B(3,4)， ，得C(2,1)，
设z＝x＋y，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B的距离最大，注意到OC⊥AC，∴原点到点C的距离最小．
22
故zmax＝|OB|＝25，zmin＝|OC|＝5. 能力提升
?x＋y－?x－y＋22?11．已知实数x，y满足，求x＋y－2的取值范围． ?1≤x≤4?
解 作出可行域如图，
由x＋y＝(x－0)＋(y－0)，
可以看作区域内的点与原点的距离的平方，
最小值为原点到直线x＋y－6＝0的距离的平方，
22
即|OP|，最大值为|OA|，
|0＋0－6|6
其中A(4,10)，|OP|＝＝＝32， 22
1＋12|OA|＝4＋10＝116，
222
∴(x＋y－2)min＝(32)－2＝18－2＝16， 222
(x＋y－2)max＝(116)－2＝116－2＝114，
22
∴16≤x＋y－2≤114.
2222
即x＋y－2的取值范围为16≤x＋y－2≤114. 2x＋y－2≥0??
12．已知实数x、y满足?x－2y＋4≥0
??3x－y－3≤0解 由于z＝
2
2
2222
，试求z＝
y＋1
的最大值和最小值． x＋1
y＋1y－－
＝， x＋1x－－
所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，
y＋1因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，
x＋1
结合图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即 zmax＝kMB＝3，此时x＝0，y＝2； zmin＝kMC＝，此时x＝1，y＝0.
1
∴z的最大值为3，最小值为.
2
12
1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．
3．3.2 简单的线性规划问题(二)
课时目标
1．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值． 2．掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．
1．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域；
(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；
根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．
2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
一、选择题
1．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2、b2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d1、d2元．月初一次性购进本月用的原料A、B各c1、c2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，约束条件为( )
??bx＋by≥c，A.?x≥0，??y≥0
1
2
2
a1x＋a2y≥c1，
ax＋ay≤c，??bx＋by≤c，C.?x≥0，??y≥0
11
22
12
??ax＋by≤c，
B.?x≥0，
??y≥0
2
2
2
a1x＋b1y≤c1，
ax＋ay＝c，??bx＋by＝c，
D.?x≥0，
??y≥0
11
22
12
答案 C
解析 比较选项可知C正确．
2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z＝ax＋y (a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为( )
135A. B. C．4 D. 453答案 B
33
解析 由y＝－ax＋z知当－a＝kAC时，最优解有无穷多个．∵kAC＝－，∴a＝.
55
3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对
2
项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4
3
万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元 B．31.2万元 C．30.4万元 D．24万元 答案 B
解析 设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，
??x≥2y，
3可获得利润为z万元，则?x≥5，??y≥5，
z＝0.4x＋0.6y.
x＋y≤60，
由图象知，
目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值． ∴ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．
4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案 B
解析 设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知
x＋y≤70，??10x＋6y≤480，?x≥0，??y≥0.
甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200y. 画出可行域如图所示．
点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值．
5．如图所示，目标函数z＝kx－y的可行域为四边形OABC，点B(3,2)是目标函数的最优解，则k的取值范围为( )
?2??5?A.?，2? B.?1，? ?3??3?
2?4???C.?－2，－? D.?－3，－? 3?3???
答案 C
解析 y＝kx－z.若k>0，则目标函数的最优解是点A(4,0)或点C(0，4)，不符合题意． ∴k<0，∵点(3,2)是目标函数的最优解．
2
∴kAB≤k≤kBC，即－2≤k≤－.
3
二、填空题
6．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
答案 2 300
5x＋6y≥50，??10x＋20y≥140，
解析 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则?x∈N，
??y∈N.
**
目标函数为z＝200x＋300y.
作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2 300元． 5x－11y≥－22，??
7．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件?2x＋3y≥9，
??2x≤11，则
z＝10x＋10y的最大值是________．
答案 90
解析