*
该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x，y∈N，计算区域内与点?
?11，9?最近
??22?
的整点为(5,4)，当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.
8．某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．
答案 20 24 解析
设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元， 依题意约束条件为：
??4x＋5y≤200，
x＋10y≤300，?3
x≥15，??y≥15，
9x＋4y≤300，
目标函数为S＝7x＋12y.
从图中可以看出，当直线S＝7x＋12y经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值．
??4x＋5y－200＝0，
解方程组?
?3x＋10y－300＝0，?
得A(20,24)，故当x＝20，y＝24时， Smax＝7×20＋12×24＝428(万元)． 三、解答题
9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
解 将已知数据列成下表： 原料/10 g 蛋白质/单位 铁质/单位 甲 5 10 乙 7 4 费用 3 2
5x＋7y≥35，??
设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，那么?10x＋4y≥40，
??x≥0，y≥0，目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图所示：
3z3z把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的
2222
一族平行直线．
3zz由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．
222
?10x＋4y＝40，?14
由?得A(，3)，
5??5x＋7y＝35，
14
∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.
514
∴甲种原料×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．
5
32
10．某家具厂有方木料90 m，五合板600 m，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产
3232
每张书桌需要方木料0.1 m，五合板2 m，生产每个书橱需要方木料0.2 m，五合板1 m，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．
(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？ 解 由题意可画表格如下： 32 方木料(m) 五合板(m) 利润(元) 书桌(个) 0.1 2 80 书橱(个) 0.2 1 120 (1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，
0.1x≤90??
则?2x≤600??z＝80x
??x≤900
??
?x≤300?
?x≤300.
所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24 000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y个，可获利润z元， 0.2y≤90??
则?1·y≤600??z＝120y
??y≤450
????y≤600
?y≤450.
所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54 000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．
??2x＋y≤600
(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则?x≥0
??y≥0
x＋2y≤900，
??2x＋y≤600，?x≥0，??y≥0.
0.1x＋0.2y≤90
?
z＝80x＋120y.
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．
作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0.
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值．
??x＋2y＝900，由?解得点M的坐标为(100,400)． ?2x＋y＝600?
所以当x＝100，y＝400时，
zmax＝80×100＋120×400＝56 000(元)． 因此，生产书桌100张、书橱400个， 可使所得利润最大． 能力提升
11．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为( )
A．－3 B．3 C．－1 D．1 答案 A
解析 当a＝0时，z＝x.仅在直线x＝z过点A(1,1)时， z有最小值1，与题意不符．
1z当a>0时，y＝－x＋.
aa1
斜率k＝－<0，
a仅在直线z＝x＋ay过点A(1,1)时，
直线在y轴的截距最小，此时z也最小，
与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾．
1z1
当a<0时，y＝－x＋，斜率k＝－>0，
aaa111
为使目标函数z取得最小值的最优解有无数个，当且仅当斜率－＝kAC.即－＝，∴aaa3
＝－3.
12．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 规模类型A规格 B规格 C规格 钢板类型 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3
今需要A、B、C三种规格的成品分别至少为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
解 设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．
2x＋y≥15??x＋2y≥18?x＋3y≥27??x≥0，y≥0
.
作出可行域(如图)：(阴影部分) 目标函数为z＝x＋y.
作出一组平行直线x＋y＝t，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直
571839?1839?线x＋3y＝27和直线2x＋y＝15的交点A?，?，直线方程为x＋y＝.由于和都不555?55?
?1839?是整数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是整数，所以可行域内点?，?不是最优解． ?55?
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解．
答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．
§3.4 基本不等式：ab≤
课时目标
1．理解基本不等式的内容及其证明； 2．能利用基本不等式证明简单不等式．
a＋b2
(一)
1．如果a，b∈R，那么a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．
a＋b2．若a，b都为正数，那么≥ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，称上述不等式
2a＋b为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数．
2
3．基本不等式的常用推论
a＋b?2a2＋b2?(1)ab≤??≤2 (a，b∈R)； ?2?
11
(2)当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2.
2
2
xxbaba(3)当ab>0时，＋≥2；当ab<0时，＋≤－2.
abab222
(4)a＋b＋c≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．
一、选择题
1．已知a>0，b>0，则
a＋b22
a＋ba2＋b22abA. B.ab C. D. 22a＋b答案 D
解析 方法一 特殊值法．
a＋ba2＋b22ab82ab令a＝4，b＝2，则＝3，ab＝8， ＝10，＝.∴最小．
22a＋b3a＋b2ab22a＋b方法二 ＝，由≤ab≤≤
a＋b11112
＋＋
，ab，
a2＋b2
，2ab中最小的是( ) a＋ba2＋b2
2
，可知
2ab最小． a＋babab1?1?2
(a>2)，n＝??x－2 (x<0)，则m、n之间的大小关系是( ) a－2?2?
A．m>n B．m 11 解析 ∵m＝(a－2)＋＋2≥2a－2＋2＝4， a－2a－2 n＝22－x2<22＝4.∴m>n. 3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( ) a2＋b2a2＋b2 A．1≤ab≤ B．ab<1< 22a2＋b2a2＋b2 C．ab<<1 D. 222．已知m＝a＋