3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
课时目标
1．了解二元一次不等式表示的平面区域．
2．会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．
1．二元一次不等式(组)的概念
含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式． 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组． 2．二元一次不等式表示的平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线． 3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定 (1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都相同． (2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
一、选择题
1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )
y≥－2??
A.?3x－2y＋6>0??x<0y>－2??
C.?3x－2y＋6>0??x≤0
y≥－2??
B.?3x－2y＋6≥0
??x≤0y>－2??
D.?3x－2y＋6<0
??x<0
答案 C
解析 可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以C正确．
2．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( ) A．(－1,6) B．(－6,1)
C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) D．(－∞，－6)∪(1，＋∞) 答案 A
解析 由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0， 即(a＋1)(a－6)<0，∴－1
3．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的区域为( )
答案 B
解析 不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组
??x－y>0，(Ⅰ)?
?x＋2y－2>0?
或不等式组(Ⅱ)?
?x－y<0，?
??x＋2y－2<0.
分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再
求并集，可得正确答案为B.
4x＋3y≤12，??
4．不等式组?x－y>－1，
??y≥0
表示的平面区域内整点的个数是( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
答案 C
解析 画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．
x＋y≥0，??
5．在平面直角坐标系中，不等式组?x－y＋4≥0，
??x≤a面积是9，那么实数a的值为( )
A．32＋2 B．－32＋2 C．－5 D．1 答案 D
(a为常数)表示的平面区域的
解析 区域如图，
易求得A(－2,2)，B(a，a＋4)， C(a，－a)．
1
S△ABC＝|BC|·|a＋2|＝(a＋2)2＝9，由题意得a＝1.
2
x≥0，??
6．若不等式组?x＋3y≥4，
??3x＋y≤4
4
所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两
3
部分，则k的值是( )
7343A. B. C. D. 3734答案 A
解析 不等式组表示的平面区域如图所示．
44?4?由于直线y＝kx＋过定点?0，?.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平33?3?
面区域．
?15?因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点M?，?. ?22?
45k4?15?当y＝kx＋过点?，?时，＝＋， 3223?22?7
所以k＝.
3
二、填空题
7．△ABC的三个顶点坐标为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．
x＋2y－1≥0??
答案 ?x－y＋2≥0
??2x＋y－5≤0
解析
如图直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出)． 直线AC的方程为2x＋y－5＝0， 直线BC的方程为x－y＋2＝0， 把(0,0)代入2x＋y－5＝－5<0， ∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.
x＋2y－1≥0??
∴同理可得△ABC区域(含边界)为?x－y＋2≥0
??2x＋y－5≤0
.
8．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有________个．
答案 6
x∈N??
解析 由题意点(x，y)的坐标应满足?y∈N
??x＋y≤2
(2,0)(0,1)(0,2)(1,1)6个．
，由图可知，整数点有(0,0)，(1,0)，
9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．
答案 －1
解析 根据题意，分以下两种情况：
①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．
??a>0则???a＋1≤0
.无解．
②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内， ??a≤0则?，∴－10?
综上所述，－1
x≤0，??
10．若A为不等式组?y≥0，
??y－x≤2
表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，
动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．
7答案 4解析
如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当a从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．
又D(0,1)，B(0,2)， ?13?E?－，?，C(－2,0)． ?22?
17
S四边形ODEC＝S△OBC－S△BDE＝2－＝.
44
三、解答题
x≥3??
11．利用平面区域求不等式组?y≥2
??6x＋7y≤50
的整数解．
解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．
32
把x＝3代入6x＋7y≤50，得y≤，又∵y≥2，
7
∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)； 把x＝4代入6x＋7y≤50，
26得y≤，
7
∴整点有：(4,2)(4,3)．
20
把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤，
7
∴整点有：(5,2)；
把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；
8
把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤，与y≥2不符．
7
∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．
22
12．若直线y＝kx＋1与圆x＋y＋kx＋my－4＝0相交于P、Q两点，且P、Q关于直线
kx－y＋1≥0??
x＋y＝0对称，则不等式组?kx－my≤0
??y≥0
m表示的平面区域的面积是多少？
解 P、Q关于直线x＋y＝0对称，故PQ与直线x＋y＝0垂直，直线PQ即是直线y＝kx＋1，故k＝1；
22
又线段PQ为圆x＋y＋kx＋my－4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上，即为直线x＋y＝0，又圆心为(－，－)，
22
∴m＝－k＝－1，
kx－y＋1≥0??
∴不等式组为?x＋y≤0
??y≥0
，
1111
它表示的区域如图所示，直线x－y＋1＝0与x＋y＝0的交点为(－，)，∴S△＝×1×2222
11＝.故面积为. 44能力提升
x＋y－11≥0，??
13．设不等式组?3x－y＋3≥0，
??5x－3y＋9≤0
表示的平面区域为D.若指数函数y＝a的图象上
x存在区域D上的点，则a的取值范围是( )