《材料物理性能》 习题解答
1-9一非晶高聚物的蠕变行为可用一个Maxwell模型和一个Voigt模型串联描述，若t=0时施以拉伸应力为1.0×104 N/m2至10小时,应变为0.05,移去应力后的回复应变可描述为??(3?e10?t)/100,t为小时，请估算该力学模型的四个参数值。
解：据题即求如图E1,E2,η2和η3四参数。如图所示有 ???1??2??3?其中ε
1立即回复，ε
?0E1??0E2(1?e?t/?)??0t?32逐渐回复，ε3不能回复。
E1,ε1 ?0?10?10???0.05?(3?e)/100?0.011?E1?E2,ε??01.0?104???3?t??36000?(3?e10??)/100?0.03?3?3???2?0.05?0.03?0.01?0.01??2 η2,εη3,ε?1.0?104E1??1.0?106(Pa)??0.01? ?4???1.0?10?36000?1.2?1010(Pa?s)3 ?0.03?Voigt的回复方程为：?(t)??0exp(?t/?)，这里t为从回复时算起，而题目的t为从开始拉伸时算起，所以此题的回复方程为：?(t)??0exp(10?t?)
排除立即恢复后的应变，应变的回复方程就可写成
?(t)?(0.05?0.01?0.03)exp(10?t?)?0.03,得出?＝3600s，（与?＝（3＋e10?t)/100相比）1.0?104??2＝（1－e?10)?0.01,?E2?1.0?106Pa,?2?E2??3.6?109Pa?sE2
1-10当取Tg为参考温度时log?T??c1?T?Ts?中的C1=17.44,C2=51.6，求以
c2??T?Ts?Tg+50℃为参考温度时WLF方程中的常数C1和C2。
5
《材料物理性能》 习题解答
B?C?)?12.303f?17.44(B是常数，fg是Tg时的自由体积百分数 ?g??f ?C?g?51.6(B是自由体积在Tg以上的热膨胀系数)f?2Bf?
101.6又有f?f?B(T?T)?f?f?50B?fggfgg?50gf 51.617.44? C??8.86??1101.6/51.6? 以Tg?50?C为参考时有??C?101.6?51.6?101.62?51.6?
解：
F1-11一圆柱形Al2O3晶体受轴向拉力F，若其临界抗剪强度η
f
为135 MPa,求沿图中所示之方向的滑移系统产生
滑移时需要的最小拉力值，并求滑移面的法向应力。
解： 由题意得图示方向滑移系统的剪切强度可表示为：τ 53° 60° NFcos53??cos60?20.0015? Ф3mm ?f?0.00152?3?Fmin??3.17?10(N) cos53??cos60?33.17?10?cos60?8 此拉力下的法向应力为：???1.12?10(Pa)?112(MPa)20.0015?/cos60?1-12拉伸某试样得到如下表的数据,试作???曲线图,并估算杨氏模量、屈服应
??力和屈服时的伸长率以及抗张强度。
??103 5 10 500 80 20 950 90 30 1250 100 40 1470 120 50 60 ??104Pa 250 ??103 70 1565 1690 150 ??104Pa 1660 1500 1400 1380 1380(断) 6
《材料物理性能》 习题解答
? 屈服点 ε
扬氏模量E??,由图中未达屈服点时线段的斜率可求出。???屈服点（图中可以读出），屈?3kT(式中波尔兹曼常数k=1.38x10-23 J/K)，求T = 1 K2服时伸长率即为屈服点的应变，断裂时对应的即是抗张强度。
1-13氦原子的动能是E=
时氦原子的物质波的波长。
312??E?kT?mv根据?22 ??P?mv?h/? h???h/P??3mkT
解：
6.6?10?344?10?3?233??1.38?10?1236.02?10?1.26?10?9(m)?12.6(nm)1-14利用Sommerfeld的量子化条件，求一维谐振子的能量。
P21P2x222?E??m?x???1相当于一个椭圆解： 一维谐振子的能量2m22mE2E/m?2 ?根据Sommerfeld量子化条件有：
2Pdx??2mE?2E/m??x?2E???nh（这时?Pxdx相当于椭圆的面积）?E?n??(n?1,2,3,??)i??????????，取球面坐标时，算符 2m1-15波函数的几率流密度J???ir??1?1?1??j??k?，求定态波函数??eikr的几率流密度。
r?rr??rsin??? 7
《材料物理性能》 习题解答
解： ??1eikr,?*?1e?ikr?
rrikr?1ikr?ikr?1?ikr*?e,???i?er22rri?i?ir(?2ikr)?k??J?????????????ir2m2mr3mr2且???ir1-16一粒子在一维势阱中运动，势阱为
??Uo?0,x?a U(x)??求束缚态(0 < E < U0)的能级所满足的方程。
??0,x?a解：因为
?(x)?Aekx?A'e?kx‘对于x??a时，?(x)不能无穷大，?A＝0同理，x?a时，A＝0
8
《材料物理性能》 习题解答
根据题意可得波函数：x??(x)?Aexp[i2m(E?U)]??x??a?10???8?2mE1/28?2mE1/2?)x?Bsin()x??x?a??2(x)?B1cos(222hh??x??(x)?Cexp[?i2m(E?U)]??x?a0???3i2m(E?U)2mE0令k?,k?,则上述波函数可简化为：12????(x)?Aexp(kx)??x??a1?1???2(x)?B1cos(k2x)?B2sin(k2x)??x?a??(x)?Cexp(?kx)??x?a?1?3由“连续性”可得?(?a)??(?a),?'(?a)??'(?a);?(a)??(a),?'(a)??'(a)12122323?Aexp(?k1a)?B1cos(k2a)?B2sin(k2a)??(1)???Ak1exp(?k1a)?k2B1sin(k2a)?k2B2cos(k2a)??(2)???Cexp(?k1a)?B1cos(k2a)?B2sin(k2a)??(3)??Ckexp(?ka)??kBsin(ka)?kBcos(ka)??(4)?11212222?由(1)?(2)得：(A?C)exp(?k1a)?2B1cos(k2a)...............(5)(2)?(4):k1(A?C)exp(?k1a)?2k2B1sin(k2a)...............(6)由(6)/(5):k1?k2tg(k2a),.....................(A)..................其成立条件为：A?C?0且B1?0由(3)?(1)得到公式（7），(4)?(2)得到公式(8)(8)/(7):?k1?k2ctg(k2a)......................(B).................其成立条件为：A?C?0且B2?0第一类，(A)成立，由A?C?0,B2?0得出相应的?(x)第二类，(B)成立，由A?C?0,B1?0得出相应的?(x) 9