《电磁学》思考题和计算题 第四章
第四章 稳 恒 磁 场
§4.1 磁的基本现象和基本规律
思考题：
1、 地磁场的主要分量是从南到北的，还是从北到南的？
答：地磁场的北极（Ｎ极）位于地理南极附近，南极（Ｓ极）位于地理北极附近，所以地磁
场的主要分量是从地理南极到地理北极。
2、 如图取直角坐标系，电流元I1dl1放在x轴上指向原点O，电流元I2dl2放在原点O处指
向Z轴。试根据安培定律回答，在下列各情形里电流元1给电流元的力dF12、以及电流元2给电流元1的力dF21，大小和方向各有什么变化？ （１） 电流元２在zx平面内转过角度θ； （２） 电流元２在yz平面内转过角度θ；
I2dl2
（３） 电流元１在xy平面内转过角度θ； （４） 电流元1在zx平面内转过角度θ. 答：根据安培定律
?????????I1d?1?r12?dF12?I2d?2?dB?r12??I2d?2?其中r电流元Id?到Id?2的矢径121123r12?????????I2d?2?r21? d F 21?I1d?1?dB?r21??I1d?1?其中r电流元Id?到Id?1的矢径212213r21z
O
x I1dl1
y
在图示情况下，dF12＝０，
22dF ?I1d ?1 2 方向沿Ｚ轴负向。 21
Id?dF ?I1d ?1 2 大小变小，且随θ不同而变化，最小值为０。（１）dF12＝０， 21
rrI2d?2sin?方向与θ有关，可沿Ｚ轴正向或沿Ｚ轴负向。
dF（２）dF12＝０， 21 ? I1 d? 1 2 大小不变，方向始终与I2dl2方向相反。
r22d?（３）dF12＝０，dF 21 ? I 1 1 2 大小变小，且随θ不同而变化，最小值为０。
I2d?2Id?sin?r 方向与θ有关，可沿Ｚ轴正向或沿Ｚ轴负向。
d? 2 （４） dF 12 ? I2 大小变小，且随θ不同而变化，最小值为０。 2rI1d?1sin? 方向沿x轴正向或负向。
2 dF 21 ? ? 2 大小始终不变，方向是在xz平面内，垂直于dl1 I1d12Id?r124
《电磁学》思考题和计算题 第四章
3、 根据安培定律证明：任意两个闭合载流回路L1和L2之间的相互作用力满足牛顿第三定律。 证明：由安培定律可知，
????????0I1d?1?r12dF12?I2d?2?B?r12??I2d?2??r3124?L??????0I1I2d?2?d?1?r12F12??dF12?3?L1?L24?r12??????????0I1I2r12?r12?d?2?3??3d?1?d?2??L1?L2?d?1?4?rr1212????????0I1I2r12???L1?L2r312d?1?d?24????r12r12?(其中?d?2?3????3ds?0)L2Sr12r12?????? 同理
?F21????0I1I2dF21?4???L1???d?1?d?2?r21?L2r3????II0124?21??L1?r21r321L2?d??1??d?2???r12??r21???F12??F21????????? （利用矢量分析公式 A?B?C?A?CB?A?BC ）
?????? 即：两个电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律，但任意两个闭合载流回路L1
和L2之间的相互作用力满足牛顿第三定律。
4、 试探电流元Ｉdl在磁场中某处沿直角坐标系的x轴方向放置时不受力，把这电流元转到
＋y轴方向时受到的力沿—z方向，此处的磁感应强度Ｂ指向何方？ 答：由安培定律判断，Ｂ沿x轴正向。
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§4.2 载流回路的磁场
思考题： １、
试根据毕奥—萨伐尔定律证明：一对镜像对称的电流元在对称面上产生的合磁场Ｂ
必与此面垂直。 答：
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《电磁学》思考题和计算题 第四章
习题： １、
一条长的直输电线，载有100A的电流，在离它半米远的地方，它产生的磁感应强
度B有多大？ 解： B?２、
?0I2?r?0.4?10?4T?0.4高斯
一条很长的直载流导线，在离它1cm处产生的磁感应强度是1高斯，它所载的电流
有多大？ 解： B?３、
?0I2?r I=5A
如图所示，一条无穷长载流直导线在一处折成直角，P点在折线的延长线上，到折
点的距离为a.
（１） 设所载电流为Ｉ，求Ｐ点的Ｂ； （２） 当Ｉ＝２０Ａ，a＝2.0cm时，Ｂ＝？ 解： （１）B??0I4?r(cos?1?cos?2)?I a P ?0I4?a
?1??2,?2??
（２）B?0.4高斯 ４、
如图所示，一条无穷长直导线在一处弯成半径为R的半圆形，已知导线中的电流为
I，求圆心处的磁感应强度B。
解：圆心处的磁感强度为三部分的叠加，但长直导线部分产生的磁感强度为零。因此只有半圆形载流导线在圆心处产生磁场 B?５、
1?0I22R?Ｉ Ｒ ?0I4R
如图所示，一条无穷长直导线在一处弯折成1/4圆弧，
圆弧的半径为Ｒ，圆心在Ｏ，直线的延长线都通过圆心。已知导线中的电流为Ｉ，求Ｏ点的磁感应强度。 解：与上题同理，只有１／４圆弧在Ｏ点产生磁场 B?1?0I42R?Ｉ Ｒ ?0I8R
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《电磁学》思考题和计算题 第四章
６、 一条无穷长的导线载有电流Ｉ，这导线弯成一抛物线形状，焦点到顶点的距离为a，
求焦点的磁感强度Ｂ。
解：抛物线在x-y坐标系中的标准方程为
y2y θ r φ a F x ?2px?4ax.
线上各电流元在焦点Ｆ产生的磁场方向都是垂直纸面向外。大小为 dB??0Idlsin?4?r2
将坐标原点移到Ｆ，x?x??a,则y2?4ax??4a2
?x??rcos?cos?12 用极坐标表示 ?，抛物线方程变为 r2?4ar?4a?0 2y?rsin?sin?sin?? 解得 r?2a1?co?s。由图示可知，dlsin??rd?，
?0Id?4?r?0dB???0I8?a(1?cos?)d?
B??0I8?a2?(1?co?s)d???0I4a
?0I8a （半支抛物线在Ｆ点产生的磁感强度为 B?７、
２
）
如图所示，两条无穷长的平行直导线相距为２a，分别载有方向相同的电流Ｉ１和Ｉ
。空间任一点Ｐ到Ｉ１的垂直距离为x1,到Ｉ２的距离为x2,求Ｐ点的磁感强度Ｂ。
解：B2?B12?B22?2B1B2cos?
?I 其中B1??0I1 B2?02 cos??2?x1x1?x2?4a2x1x22222I1⊙
2a I2⊙ B x1 B2 B1
2?x2 B?８、
?02?x1x2x2 ?I1?I2?I1x2?I2x1?4aI1I2
22??如图所示，两条无穷长的平行直导线相距为２a，载有大小相等而方向相反的电流
Ｉ。空间任一点Ｐ到两导线的垂直距离分别为x1和 x2,求Ｐ点的磁感强度Ｂ。 解：与上题同理，但
cos??cos180?0????cos????x1?x2?4a2x1x2222
I ⊙ 2a I ⊙× x1 α B1 B B2
B?a?0I?x1x2
x2 127
《电磁学》思考题和计算题 第四章
９、 四条平行的载流无限长直导线，垂直地通过一边长为a的正方形顶点，每条导线中
I I ⊙ ⊙×
a a
?0I的电流都是Ｉ，方向如图所示， （１） 求正方形中心的磁感应强度Ｂ； （２） 当a=20cm,I=20A时，Ｂ＝？
⊙ ⊙× I I
222a?/22?2?0I
解： （１）Ｂ＝Ｂ１＋Ｂ２＋Ｂ３＋Ｂ４ B?4Bcos??41
?a
⊙ I2
（２）Ｂ＝0.80高斯
d １０、 如图所示，两条无限长直载流导线垂直而不相交，其间
最近距离为d=2.0cm，电流分别为Ｉ１＝4.0A , Ｉ２=6.0A，Ｐ点到两导线的距离都是d, 求Ｐ点的磁感强度Ｂ。 解： B1? B??0I12?d 方向向里 B2??0I22?d 方向向右
I1 d
d P
22B1?B2?0.72高斯 方向为B1和B2的合矢量方向。
１１、 载流圆线圈半径Ｒ＝１１cm，电流Ｉ＝１４Ａ，求它轴线上距圆心r0=0和r0=10cm
处的磁感应强度Ｂ等于多少高斯。 解： （１）B??0I2R?0.8高斯 （２）B??0RI2R?r02?22?3?0.33高斯2
１２、 载流正方形线圈边长为２a，电流为Ｉ。
（１） 求轴线上距中心为r0处的磁感应强度； （２） 当a=1.0cm,I=5.0A, r0=0和r0=10cm时，Ｂ等
于多少高斯？
解： （１）载流正方形的四边在Ｐ点产生的Ｂ大小相同，
水平分量互相抵消，竖直方向叠加。 Bt??0I4?R(co?s1?cos?2)cos?
a??co?s2 cos??a/2dB α r0 R θ2 I 2a O a α θ1 其中 R?r02?a2
co?s1??r20?2a2?1r0?a22
B?4Bt?2?0Ia2 方向沿轴线
2??r0?a22??r20?2a?12 （２）Ｂ１＝2.8高斯 Ｂ２＝3.9×10高斯
-3
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